2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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D题对学生宿舍设计方案的评价
学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。
经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。
舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。
请你们用数学建模的方法就它们的经
对学生宿舍设计方案的评价
摘要
本文主要从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计方案做出综合量化和比较。在评价过程中，主要运用了模糊决策和层次分析法，并利用MATLAB软件进行求解。
由于本问题的许多条件比较模糊，具有隐藏性，我们先对附件中的数据进行预处理，从中提取与评价相关的因素，然后利用层次分析法确定各准则对目标的权重，从而建立学生宿舍设计方案的评价模型。具体结果为：
（1）经济性方面：得出四种学生宿舍设计方案在此方面的的组合权向量为：(0.0440,0.5627,0.2265,0.1668)，根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出：方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后为方案2。
（2）舒适性方面：得到组合权向量为：(0.1124,0.5301,0.1576,0.1999)，根据指标越大，优先选择程度越大的准则得出：方案2是舒适度最高的，其次为方案4、方案3，最后为方案1。
（3）安全性方面：得到组合权向量为：(0.0935,0.4158,0.2684,0.2223)，利用和（2）同样的准则，得出了方案2是安全性最强的，其次为方案3、方案4，最后为方案1。
（4）综合分析方面：得到组合权向量为：(0.0678,0.5398,0.2111,0.1813)，由此得出方案2是综合指标最高的，其次为方案3、方案4、最后为方案1。
最后，对以上建立的模型进行合理化的评价和深入的探讨，分析了模型的优缺点，并提出了进一步的改进方向。
关键词：评价模型
层次分析法
权重
MATLAB
1.问题重述
现如今的学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。
请用数学建模的方法，从经济性、舒适性、安全性方面对附件中给出的四种学生宿舍的设计方案作出综合量化和比较。
2.问题分析
本问题要解决的问题是对四种典型的学生宿舍设计方案进行评价与比较。
题目中的数据比较模糊，具有隐藏性，而且是用图表的方式展示给我们的，因而解决这一问题的关键点有两个：（1）如何把附件中四个平面设计图中所隐藏的数据量化；（2）在建立评价比较模型时如何确定各个因素之间的权重与影响。
因而我们采用模糊决策和层次分析法相结合的方法构架评价模型，来评判各个宿舍设计方案的优劣。
3.模型假设
1) 2) 3) 4) 5)
我们以附件中的四个图片作为研究的对象；
Design1、Design2、Design3和Design4分别对应层次结构中的方案层假设收集到的数据与理论根据是准确合理的；不考虑宿舍未住满、设施损毁等情形；单位面积内的建设成本我们假设为定值。
P；
4.符号说明
符号A、A、A、AB、B、B、BP、P、P、P
B1B2B3C1C2C3C4
1
2
1
2
1
2
333
含义表示
不同层次结构下的目标层不同层次结构下的准则层不同层次结构下的决策层准则层下的经济性因素准则层下的舒适性因素准则层下的安全性因素子准则层下的建设成本因素子准则层下的运行成本因素子准则层下的收费标准因素子准则层下的人均面积因素
C5C6C7C8C9CIRICR
W
1
子准则层下的使用方便因素子准则层下的互不干扰因素子准则层下的采光通风因素子准则层下的人员疏散因素子准则层下的防盗因素
一致性指标随机一致性指标一致性比率正互反矩阵的特征值
建设成本、运行成本、收费标准分别对经济的权向量
经济情况下四种方案之间的权向量舒适情况下四种方案之间的权向量安全情况下四种方案之间的权向量
经济性、舒适性、安全性分别对综合评价的权向量
四种设计方案之间的权向量表1
W1W2W3
W0
W
5.模型的建立与求解
经济性方面
在这个层面上，把经济性设为目标层，把建设成本、运行成本、收费标准设为准则层，四种方案设为决策层，层次结构图如图2所示。
在这里我们的评价准则为：指标越小，优先选择程度越大，也就是说，所需的经费越少。
目标层A
1
经济性B1
准则层B
1
建设成本C1
运行成本C2
收费标准C3
决策层P
1
方案1 方案2 方案3 图2
方案4
得到其相对应的成对比较矩阵如下面所示：第二层对第一层的成对比较矩阵为：
1
1/21/614n1
1/41
B1=2
6
求得其最大特征根为max3.0092，经一致性检验：
CI
(A)n
0.00458
查找相应的平均随机一致性指标（见上表
CR
CIRI
1
3）RI，计算一致性比率为：
0.0079
0.1
0.004580.58
CR说明矩阵B1的不一致程度是可以接受的，矩阵
W
B1的权向量为：
T
(0.1061,0.1929,0.7010)
第三层对第二层的成对比较矩阵为：
1
1/91/71/511/2
21
551
975
C1=
1/51/5
11/91/71/5
C2=
9131
531
71/3
51/51/3
11/91/51/5
C3=
95
11/3
311
411
51/4
通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量与一致性指标CR，具体求解结果见下表4：
B1
W1
C1
C2
W1、最大特征根
C3
CR
表4
上述一致性比率CR均小于，可以判断矩阵具有满意的一致性。
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