难题突破专题八 类比、拓展探究题
类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．
1 [2016·湖州] 数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD＝120°)进行探究：
将一块含60°的直角三角板如图Z8－1放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F(不包括线段的端点)．
(1)初步尝试
如图①，若AD＝AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE＋AF＝AC； (2)类比发现
如图②，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE＝2FH； (3)深入探究
AE＋3AF如图③，若AD＝3AB，探究得的值为常数t，则t＝________．
AC
图Z8－1
例题分层分析
(1)①先证明△ABC，△ACD都是________三角形，再证明∠BCE＝________，即可解决问题． ②根据①的结论得到________，由此可证明．
AEAC
(2)设DH＝x，由题意，可得CD＝________，CH＝________(用含x的代数式表示)，由△ACE∽△HCF，得＝，
FHCH由此即可证明．
CN
(3)如图③，过点C作CN⊥AD于N，CM⊥BA，交BA的延长线于点M，CM与AD交于点H.先证明△CFN∽△CEM，得
CMFNCNFN1
＝，由AB·CM＝AD·CN，AD＝3AB，推出CM＝3CN，所以＝＝，设CN＝a，FN＝b，则CM＝3a，EM＝3b，想办法EMCMEM3求出AC，AE＋3AF即可解决问题．
2 [2016·舟山] 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”． (1)概念理解
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； (2)问题探究
如图Z8－2①，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
(3)应用拓展
如图②，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角
α(0°＜∠α＜∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图③)，当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
图Z8－2
例题分层分析
(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；
(2)连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA＝________，PB＝________，
∠DAP＝________＝∠ABC＝________，从而可得∠APC＝∠DPB，利用SAS可证得△APC≌△DPB，即可得到AC＝BD. (3)分两种情况考虑：(i)当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，由S四边形ACBD′
＝S△ACE－S△BED′，求出四
边形ACBD′的面积；(ii)当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，由S四边形ACBD′＝S△AED′＋S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′的面积即可．
专 题 训 练
1．[2017·淮安] 【操作发现】
如图Z8－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
图Z8－3
(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′； (2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝________． 【问题解决】
如图Z8－4，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
图Z8－4
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．
……
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(―种方法即可)
【灵活运用】
如图Z8－5，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)，求
BD的长(用含k的式子表示)．
图Z8－5
2．[2017·连云港] 问题呈现：如图Z8－6①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG. 求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.(S表示面积)
图Z8－6
实验探究：
某数学实验小组发现：若图①中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化．分别过点E，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.
如图②，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG>AE)，经过探索，发现： 2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1.
如图③，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG 迁移应用： 请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题． (1)如图Z8－7，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>BF，AE>DG，S四边形EFGH＝11， HF＝29，求EG的长． 图Z8－7 (2)如图Z8－8，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，H分别在边AB，AD上，BE＝1，DH＝2，点F，G分别是边 BC，CD上的动点，且FG＝10，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值． 图Z8－8 3.[2017·盐城] 【探索发现】 如图Z8－9①是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________． 图Z8－9 【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．(用含a，h的代数式表示) 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．
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