§2.2 不等式及其基本性质
预备知识
?数与式的基本运算 ?数轴 重点
?比较两个实数的大小 ?不等式的解集 难点
?不等式的基本性质 ?比较式的大小 学习要求
?了解不等式的概念，
?熟练应用不等式的基本性质解题
1. 不等式及其基本性质 我们先用天平来做两个实验． 实验1：
在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况．
当天平处在平衡状态，说明两端的 重量是相等的；当天平处在不平衡状态， 则两端的重量不等．在实验中你可以观 察到：
(1)天平平衡是可能的；
(2)天平不平衡状态是经常发生的， 所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡
图2-11(1) 图2-11(2) (天平实验图) 状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系． 在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“?”或“<(?)”、“>(?)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(?)”、“>(?)”表示的不等量关系．用符号“<(?)”、“>(?)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．
用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x>1，读作x大于1；图2-11(2)表示x<2，读作x小于2． 课内练习1
1.请你用“>(?)”、“<(?)”表示你在实验中出现的不等量关系．
2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“>(?)” 、“<(?)”连接任意两 个字母．
实验2：
选图2-11中天平一种不平衡态．
(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如 ? 7+3>5+3(即10>8)；
7>5 ? 7+(3?3-3)>5+(3?3-3)(即13>11)； ? 7-9>5-9(即-2>-4)．
(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如
7>5 ? 7?2>5?2 (即14>10)；
d e c f a b
? ? ? ? ? ? -5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
第2题图
7>5 ? 7?2>5?2 (即3.5>2.5)； 7>5 ? 7?x>5?x, x>0．
但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：
7>5 ? 7?(-2)<5?(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ? 5?(-5)<(-7)?(-5)(即-25<35)； -3<-2 ? (-3)?(-4)>(-2)?(-4)(即
31>)． 42这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向． 课内练习2 1. 因为3<5，所以
(1)3+2 5+2，根据 ； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据 ． 2. 因为4>2，所以
(1)4?3 2?3，根据 ； (2)4?(-3) 2?(-3)，根据 ． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x与3的差大于0； (2)y与5的和小于1； (3)y的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：
(1)不等式x+3>0的两边同减去3后，不等式成为 ； (2)不等式
y+6<2y-4
的两边同加上4
后，不等式成
为 ； (3)不等式
1x+7<-9的两边同乘以2后，不等式成为 ； 2 (4)不等式9x+18<18x+6的两边同除以9后，不等式成为 ； (5)不等式-
1x+7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为 ； 2 (6)不等式9x+18<-18x+6的两边同除以-9后，不等式成为 ．
根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a,b，有 ab ? a-b>0； a=b ? a-b=0．
(这里的记号“?”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．
高中数学必修五《不等式及其基本性质》教案
