高数(1)第三章一元函数的导数和微分

第三章 一元函数的导

数和微分

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3.1 导数概念

一、问题的提出 1.切线问题

割线的极限位置——切线位置

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即

切线MT的斜率为

2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f（x）在点增量Δx（点

的某个邻域有定义，当自变量x在处取得；如

仍在该邻域）时，相应地函数y取得增量

果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个

极限为函数y=f（x）在点 即

其它形式

处的导数，记为

关于导数的说明： 在点

处的导数是因变量在点

处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变

化的快慢程度。

如果函数y=f（x）在开区间I的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I可导。 对于任一

，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作

注意：

2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8

设函数f（x）在点x=a可导，求：

（1）【答疑编号11030101：针对该题提问】

（2）【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数：

2.右导数：

函数f（x）在点

处可导

左导数

和右导数

都存在且相等.