3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一 直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量． 知识点二 平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量． 思考
1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？ 答案 相互平行．
2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？ 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一 直线的方向向量及其应用
例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案 2
解析 由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m＝2.
反思与感悟 若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行． 跟踪训练1 若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________． 答案 垂直
解析 因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2. 题型二 求平面的法向量
例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝1
90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间2
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直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
→→→
解 如图，以A为原点，以AD，AB，AS分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 1
则A(0,0,0)，D(，0,0)，
2
C(1,1,0)，S(0,0,1)，
→1
则DC＝(，1,0)，
2→
DS＝(－，0,1)．
→1
易知向量AD＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．
2设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量， →1
n·DC＝x＋y＝0，??2则?1→
n·DS＝－x＋z＝0，??2
1
2
1y＝－x，??2即?1
z＝??2x.
取x＝2，则y＝－1，z＝1，
∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：
→→
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC，AB； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； →??n·AC＝0，
(3)联立方程组?
→??n·AB＝0，
并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， →→
由题意知AB＝(－1,1,0)，BC＝(1,0，－1)． →??n·AB＝－x＋y＝0，→→
∵n⊥AB，n⊥BC，∴?
→??n·BC＝x－z＝0，
??x＝y，
解得?
?x＝z.?
令x＝1，则y＝z＝1.
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∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)． 题型三 证明平面的法向量
例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． →
求证：D1F是平面ADE的法向量．
证明 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则
D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，，0)，
1→→
所以AD＝(－1,0,0)，D1F＝(0，，－1)，
2→
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AE＝(0,1，)，
1→→
所以AD·D1F＝(－1,0,0)·(0，，－1)＝0，
2
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→
AE·D1F＝(0,1，)·(0，，－1)＝0，
→→→→
所以AD⊥D1F，AE⊥D1F，又AD∩AE＝A， →
所以D1F⊥平面ADE，
→
从而D1F是平面ADE的法向量．
反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．
→跟踪训练3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使B1E是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由． 解
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)， 设F(0,0，h)，E(m,1,1)，
→→→
则AB＝(0,1,0)，B1E＝(m－1,0,1)，FA＝(1,0,1－h)．
→→→→→
∵AB·B1E＝0，∴AB⊥B1E.若B1E是平面ABF的法向量，则B1E·FA＝m－1＋1－h＝m－h＝0，→
∴h＝m.即E、F满足D1F＝CE时，B1E是平面ABF的法向量．
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→
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高中数学第3章空间向量与立体几何321直线的方向向量与平面的法向量学案苏教版1(00001)
