某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）． 阶梯级别 月用水范围（吨) 第一阶梯 (0，12] 第二阶梯 (12，16] 第三阶梯 (16,??) 为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：
居民用水户编号 用水量（吨) 1 7 2 8 3 8 4 9 5 10 6 11 7 13 8 14 9 15 10 20 （1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费．试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？
（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；
（3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值． 解：（1）若某居民用水17吨，则需交费12?4?4?5?1?7?75（元）. ……….(4分) （2）设取到第二阶梯电量的用户数为?，可知第二阶梯电量的用户有3户，则?可取0，1，2，3.
321123C7C7C321C7C3C3771，p(??1)?3?， p(??2)?3?，p(??3)?3?。 p(??0)?3?C1024C1040C1040C10120故?的分布列是
? p 0 7 241 21 402 7 403 1 120所以E(?)?0?721719?1??2??3??. ……………….(8分) 244040120103（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X～B(10,)，
5k3k210?k于是为P(X?k)?C10()()，k?0,1,2,?,10.
55?k3k210?kk?13k?1210?(k?1)C()()?C(),kk?110()??2833?1055?2C10?3C10,55由?化简得?k解得. ?k?k?1323255?3C?2C,kk10?kk?1k?110?(k?1)?C10()()10?10?C10()(),?5555?因为k?N?，所以k?6. ……………….(12分) 21．（本题12分）
高三理科数学 第6页（共8页）
已知函数f(x)?(e?x)lnx（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f(x)的零点，以及曲线y?f(x)在其零点处的切线方程；
em． e?1解：（1）由f(x)?(e?x)lnx?0，得x?1，或x?e，所以函数f(x)的零点为1，e. （2）若方程f(x)?m(m?0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1?x2|?e?1?e?lnx?1，所以f?(1)?e?1，f?(e)??1． x因为f(1)?f(e)?0，所以，曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为y?(e?1)(x?1)，在x?e处的切线方程为y??x?e. ……………….(4分) 因为f?(x)?e1ee?lnx?1，所以f??(x)???2?0，所以f?(x)??lnx?1单调递减. xxxx令g(x)?(e?1)(x?1)，h(x)??x?e.
先证f(x)?g(x)，即(e?x)lnx?(e?1)(x?1)，（略） 再证f(x)?h(x)，即(e?x)lnx??x?e.（略） 不妨设g(x3)?f(x1)?f(x2)?h(x4)?m，
因为g(x1)?f(x1)?m?g(x3)，且g(x)?(e?1)(x?1)为增函数，所以x1?x3. （2）因为f?(x)?由g(x3)?(e?1)(x3?1)?m，得x3?同理，x4?x2，x4?e?m，所以，所以，|x1?x2|?e?m?(所以，|x1?x2|?e?1?m?1. e?1m?1?x3?x1?x2?x4?e?m. e?1mem， ?1)?e?1?e?1e?1em. ……………….(12分) e?1
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）
?x?2cos?(?是参数）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为?，以O为
y?3?2sin??极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(??)?22 4（1）求曲线C1和曲线C2的普通方程；
（2）曲线C2与x轴交点为P，与曲线C1交于A，B两点，求
11?的值． |PA||PB|?高三理科数学 第7页（共8页）
解：（1）曲线C1的普通方程x2??y?3??4， 曲线C2的普通方程x?y?4. ……………….(4分)
?2t,?x?4?
?2（2）点P(4,0)，过点P(4,0)的直线l的参数方程为? ?y?2t,?2?
2代入x2??y?3??4，得t2?72t?21?0，t1?t2?72，t1t2?21. 所以，
111111t?t722??????12??. ……………….(10分) |PA||PB||t1||t2|t1t2t1t22132
23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）
（1）解不等式|x?2|?|x?3|?9；
（2）若|a|?1， |b|?1，求证：|ab?1|?|a?b|.
解：（1）当x??3时，解得x??5； 当?3?x?2时，不等式不成立； 当x?2时，解得x?4.
综上，不等式的解集为{x|x??5或x?4}. ……………….(5分) (2)因为|a|?1， |b|?1，
所以|ab?1|2?|a?b|2?(a2?1)(b2?1)?0， 即|ab?1|?|a?b|. ……………….(10分)
高三理科数学 第8页（共8页）
5武昌区2020届高三2月理数试题(试题与答案定稿)
