此命题正确；
对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；
对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；
对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B?AC?D的平面角，又BH=DH=
13AC,BD=2AC,cos∠BHD=-,故二面角B?AC?D不是120?
32
综上知②③④是正确的 故答案为②③④ 【点睛】
本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．
18．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本
解析：60° 【解析】 【分析】
首先证得?EDC是二面角E?BD?C的平面角，解直角三角形求得?EDC的大小.
【详解】
由于SB?BC，E是SC的中点，所以SC?BE，由于SC?DE,DE?BE?E，所以
SC?平面BDE，所以SC?BD.由于SA?平面ABC，所以SA?BD，而
SA?SC?S，所以BD?平面SAC，所以BD?DC,BD?DE，所以?EDC是二面
角E?BD?C的平面角.设SA?AB?1，则SB?BC?2，所以SC?2，所以在
Rt?SAC中，SA?故答案为：60 【点睛】
1SC，所以?SCA?30，所以?EDC?60. 2本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：?4,?2?
【解析】 【分析】
先求得点?10,0?,??6,8?的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得
??4,2?的对称点，由此得出结论.
【详解】
已知点A(10,0)，点B(?6,8)，可得中点M(2,4). 则kAB?81??.
?6?102∴线段AB的垂直平分线为：y?4?2(x?2)， 化为2x?y?0.
设点??4,2?关于直线2x?y?0的对称点为P(a,b)，
?2?b?2??1??a?4??4?a. 则?，解得??4?a2?bb??2??2???0?22?∴与点??4,2?重合的点是?4,?2?. 故答案为：?4,?2?. 【点睛】
本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.
20．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线
的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆
1解析：
5【解析】 【分析】
将直线l的方程化为m?x?2y?1???x?y??0，可求出直线l所过的定点坐标，作出曲线C的图象，利用数形结合思想可得出当直线l与曲线C有公共点时，直线l的斜率的最小值. 【详解】
?x?2y?1?0?x??1. 将直线l的方程化为m?x?2y?1???x?y??0，由?，得?x?y?0y?1??则直线l过定点P??1,1?，
将曲线C的方程变形为?x?2???y?2??4?y?2?，曲线C为圆
22?x?2???y?2?22?4的上半圆，如下图所示：
由图象可知，当直线l过点A时，直线l的斜率取最小值kPA?故答案为：【点睛】
2?11?. 4?151. 5本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）【解析】
30． 30【分析】
（1）在直角梯形ABCD中，由条件可得AD2?AM2?DM2，即DM?AM．再由
PA?面ABCD，得DM?PA，利用线面垂直的判定可得DM?平面PAM，进一步得到平面PDM?平面PAM；
（2）由（1）知，PM?DM,AM?DM，则?PMA为二面角P?DM?A的平面角
为30，求得PA?AM?tan30??1．以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为
x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出PC的坐标及平面PDM的一个法向量，由PC与n所
成角的余弦值可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB?1,CD?2,BM?CM?可得AM?3,DM?6，
过A作AE?CD，垂足为E，则DE?1,AE?22，求得AD2?9， 则AD2?AM2?DM2，∴DM?AM． ∵PA?面ABCD， ∴DM?PA， 又PA222，
AM?A，∴DM?平面PAM，
∵DM?平面PDM， ∴平面PDM?平面PAM；
（2）解：由（1）知，PM?DM,AM?DM，则?PMA为二面角P?DM?A的平面角为30，
则PA?AM?tan30??1．
以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则P?0,0,1?，D(22,?1,0)，C(22,1,0)，M(2,1,0)，
PC?(22,1,?1),PD?(22,?1,?1),PM?(2,1,?1)．
设平面PDM的一个法向量为n?(x,y,z)，
??232??n?PD?22x?y?z?0n?1,由?，取x?1，得??2,2??．
????n?PM?2x?y?z?0∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为：
|cos?PC,n?|?【点睛】
|PC?n|230??．
30|PC|?|n|10?6向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法. 22．(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) VABCDE?【解析】 【分析】
（1）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．
（2）凸多面体ABCDE的体积V=VB-CDE+VB-ADE，由此能求出结果． 【详解】
（1）证明：AE?平面CDE,CD?平面CDE
23 3?AE?CD,
又在正方形ABCD中，CD?AD
AE?AD?A ?CD?平面ADE,
又在正方形ABCD中，AB//CD
? AB//平面ADE.
(2) 连接BD，设B到平面CDE的距离为h，
AB//CD,CD?平面CDE,
?AB//平面CDE，又AE?平面CDE， ? h?AE ?1又S?CDE?11CD?DE??2?4?1?3，2213 ?VB?CDE??3?1?33又VB?ADE?1113 ?S?ADE?AB???1?3?2?332323 3所以VABCDE?【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．
23．（1）见解析（2）见解析
【冲刺卷】高一数学下期中第一次模拟试题(及答案)
