课时达标检测（十八）曲线与方程
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课时达标检测（四十八） 曲线与方程
[练基础小题——强化运算能力]
1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是( ) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：选A 设P点的坐标为(x，y)， 则
?x－1?2＋?y＋2?2＝3
x2＋y2，
整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
2．方程(x2＋y2－2x)x＋y－3＝0表示的曲线是( ) A．一个圆和一条直线 C．一个圆
B．一个圆和一条射线 D．一条直线
??x＋y－3≥0，
解析：选D 依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②?注意到
22??x＋y－2x＝0.
圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.
3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
4x24y2
A.－＝1 21254x24y2
C.－＝1 2521
4x24y2
B.＋＝1
21254x24y2
D.＋＝1
2521
解析：选D 如图，∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点4x24y2521222的椭圆．∴a＝，c＝1，则b＝a－c＝，∴M的轨迹方程为＋＝2425211.
uuuruuuruuur4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB
(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
3
A．直线 C．圆
B．椭圆 D．双曲线
uuuruuuruuur解析：选A 设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，
所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，
y＋3x??λ＝10，解得?
3y－x??λ＝10，
12
??x＝3λ1－λ2，
即???y＝λ1＋3λ2，
y＋3x3y－x又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹是直线，故选A.
10101
5．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方
4程是________．
解析：因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.
答案：x2＝2y－1
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
x2y2
1．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1
ab的中点P的轨迹是( )
A．圆 C．双曲线
B．椭圆 D．抛物线
解析：选B 设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|1
＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．
2
uuuuruuuuruuur2
NB，2．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若MN＝λAN·
当λ＜0时，动点M的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
uuuuruuuuruuur22NB＝λ(x＋1,0)·解析：选C 设M(x，y)，则N(x,0)，所以MN＝y，λAN·(1－x,0)
＝λ(1－x2)，所以
y2＝λ(1－x2)，即
λx2＋y2＝λ，变形为
x2＋y2
λ＝1.又因为λ＜0，所以动点M
的轨迹为双曲线．
4
3．已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD＝BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1) B．x＝y(1－y)(0≤y≤1) C．y＝x2(0≤x≤1) D．y＝1－x2(0≤x≤1)
y
解析：选A 设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋＝1(0≤x≤1)，
λy??x＋λ＝1，0≤x≤1，
线段OE的方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组?(λ为参数)，消
??y＝?1－λ?x，0≤x≤1去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)．
4．(2017·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，
uuuruuuuuuruuurrB两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则
点P的轨迹方程是( )
3
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) 2
3
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) 2
3
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
23D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
2
uuuruuur解析：选A 设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，uuuruuur3
－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，
2
33
即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y
22＞0)．
x2y2
5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则
43△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )
x2y2
A.＋＝1(y≠0) 3627
9x2
C.＋3y2＝1(y≠0) 4
4x22
B.＋y＝1(y≠0)
9 D．x2＋
4y2
＝1(y≠0) 3
解析：选C 依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐
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课时达标检测(十八)曲线与方程
