(8)、迭代法
3(n?1)2例:1.已知数列{an}满足an?1?an,a1?5,求数列{an}的通项公式。
n3(n?1)2解:因为an?1?an,所以
n3n?23(n?1)?2an?an?[an]3n?2?1?23(n?2)?23(n?1)?n?2 ?[an]?33(n?2)(n?1)n?2 ?an?33n?32n?1n?2n?13(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1) ?? ?a13 ?a13n?1
?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)?n!?22n?1又a1?5,所以数列{an}的通项公式为an?5
(9)、变性转化法
3n?1?n!?2n(n?1)2。
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
5例: 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an,a1?7,求数列{an}的通项公式。
5解:因为an?1?2?3n?an,a1?7,所以an?0,an?1?0。
两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2
2、换元法 适用于含根式的递推关系 例: 已知数列{an}满足an?1?
1(1?4an?1?24an),a1?1,求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解:令bn?1?24an,则an?
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数列求和
1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。
?na1(q?1)n(a1?an)n(n?1)?Sn??na1?d Sn??a1(1?qn) 公比含字母时一定要讨论
(q?1)22??1?q(理)无穷递缩等比数列时,S?a11?q
例:1.已知等差数列{an}满足a1?1,a2?3,求前n项和{Sn}
2. 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( ) A.9 B.10 C.11 D.12
3.已知等比数列{an}满足a1?1,a2?3,求前n项和{Sn}
4.设f(n)?2?24?27?210???23n?10(n?N),则f(n)等于( )
2.错位相减法求和:如:?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和. 例:1.求和Sn?1?2x?3x2???nxn?1
2.求和:Sn?
3.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1?b1?1,a3?b5?21,a5?b3?13 (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列?
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A.
2n22(8?1) B.(8n?1?1) C.(8n?3?1) 777D.
2n?4(8?1) 7123n?2?3???n aaaa?an??的前n项和Sn. ?bn?3.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项:
1111111 ???(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1 n(n?1)nn?111111111?(?)?[?]
n(n?2)2nn?2 n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2) n?n!?(n?1)!?n!
n11i?1ii??Cn?C?C?1nn?1(n?1)!n!(n?1)!
数列?an?是等差数列,数列??1??的前n项和
?anan?1?
例:1.数列{an}的前n项和为Sn,若an?A.1 B.
1,则S5等于( B )
n(n?1)511 C. D. 66302.已知数列{an}的通项公式为an?1,求前n项的和;
n(n?1)1n?n?1,求前n项的和.
3.已知数列{an}的通项公式为an?4.已知数列{an}的通项公式为an= 5.求1?
n?1111,设Tn?,求Tn. ????2a1?a3a2?a4an?an?21111?????,(n?N*)。 1?21?2?31?2?3?41?2?3???n6.已知a?0,a?1,数列?an?是首项为a,公比也为a的等比数列,令bn?an?lgan(n?N),求数列?bn?的前n项和Sn。
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4.倒序相加法求和
12n例:1. 求Sn?3Cn ?6Cn???3nCn
012n2.求证:Cn?3Cn?5Cn?...?(2n?1)Cn?(n?1)2n
3.设数列?an?是公差为d,且首项为a0?d的等差数列,
01n求和:Sn?1?a0Cn ?a1Cn???anCn
综合练习:
1.设数列{an}满足a1?0且(1)求{an}的通项公式 (2)设bn?
2.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1?3a2?1,a3?9a2a6 (1)求数列{an}的通项公式
(2)设bn?log31?log32?...?log3n,求数列{
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aaa11??1
1?an?11?an1?an?1n,记Sn??bk,证明:Sn?1
k?1n21}的前n项和 bn3.已知等差数列{an}满足a2?0, a6?a8??10. (1)求数列{an}的通项公式及Sn (2)求数列{
4.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1?a(a?0),b1?a1?1,b2?a2?2,b3?a3?3 (1)若a?1,求数列{an}的通项公式 (2)若数列{an}唯一,求a的值
5.设数列{an}满足a1?2,an?1?an?3?22n?1 (1)求数列{an}的通项公式
(2)令bn?nan,求数列{bn}的前n项和Sn
2
6.已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上,其中=1,2,3,? (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) ?(1+an),求Tn及数列{an}的通项; (3) 记bn=
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an}的前n项和 n?12112,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1. ?anan?23Tn?17.已知等差数列{an}满足:a3?7,a5?a7?26,{an}的前n项和Sn (1)求an及Sn (2)令bn?
8.已知数列?an?中,a1?3,前n和Sn?①求证:数列?an?是等差数列 ②求数列?an?的通项公式 ③设数列?1an?12(n?N),求数列{bn}前n项和Tn
?1(n?1)(an?1)?1 2?1??的前n项和为Tn,是否存在实数M,使得Tn?M对一切正整数n都成立?若存在,aa?nn?1?求M的最小值,若不存在,试说明理由。
9.数列?an?满足a1=8,a4?2,且an?2?2an?1?an?0 (n?N),
?(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)设bn?1(n?N*),Sn?b1?b2????bn,是否存在最大的整数m,使得任意的n均有
n(12?an)Sn?
m总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由. 3221
数列总结、等差数列、等比数列、求通项方法总结、求和方法总结
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