（8）、迭代法
3(n?1)2例：1.已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。
n3(n?1)2解：因为an?1?an，所以
n3n?23(n?1)?2an?an?[an]3n?2?1?23(n?2)?23(n?1)?n?2 ?[an]?33(n?2)(n?1)n?2 ?an?33n?32n?1n?2n?13(n?1)?n?2?an?22(n?2)?(n?1)(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1) ?? ?a13 ?a13n?1
?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)?n!?22n?1又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?5
（9）、变性转化法
3n?1?n!?2n(n?1)2。
1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式
5例： 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。
5解：因为an?1?2?3n?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。
两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2
2、换元法 适用于含根式的递推关系 例： 已知数列{an}满足an?1?
1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?
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数列求和
1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。
?na1(q?1)n(a1?an)n(n?1)?Sn??na1?d Sn??a1(1?qn) 公比含字母时一定要讨论
(q?1)22??1?q(理)无穷递缩等比数列时，S?a11?q
例：1.已知等差数列{an}满足a1?1,a2?3，求前n项和{Sn}
2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ） A．9 B．10 C．11 D．12
3.已知等比数列{an}满足a1?1,a2?3，求前n项和{Sn}
4.设f(n)?2?24?27?210???23n?10(n?N)，则f(n)等于（ ）
2．错位相减法求和：如：?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和. 例：1．求和Sn?1?2x?3x2???nxn?1
2.求和：Sn?
3.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13 （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列?
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A.
2n22(8?1) B.(8n?1?1) C.(8n?3?1) 777D.
2n?4(8?1) 7123n?2?3???n aaaa?an??的前n项和Sn． ?bn?3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：
1111111 ???(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1 n(n?1)nn?111111111?(?)?[?]
n(n?2)2nn?2 n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2) n?n!?(n?1)!?n!
n11i?1ii??Cn?C?C?1nn?1(n?1)!n!(n?1)!
数列?an?是等差数列，数列??1??的前n项和
?anan?1?
例：1.数列{an}的前n项和为Sn，若an?A．1 B．
1，则S5等于（ B ）
n(n?1)511 C． D． 66302.已知数列{an}的通项公式为an?1，求前n项的和；
n(n?1)1n?n?1，求前n项的和．
3.已知数列{an}的通项公式为an?4.已知数列{an}的通项公式为an＝ 5．求1?
n?1111，设Tn?，求Tn． ????2a1?a3a2?a4an?an?21111?????,(n?N*)。 1?21?2?31?2?3?41?2?3???n6．已知a?0,a?1，数列?an?是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn?an?lgan(n?N)，求数列?bn?的前n项和Sn。
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4．倒序相加法求和
12n例：1. 求Sn?3Cn ?6Cn???3nCn
012n2.求证：Cn?3Cn?5Cn?...?(2n?1)Cn?(n?1)2n
3．设数列?an?是公差为d，且首项为a0?d的等差数列，
01n求和：Sn?1?a0Cn ?a1Cn???anCn
综合练习：
1.设数列{an}满足a1?0且（1）求{an}的通项公式 （2）设bn?
2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a1?3a2?1，a3?9a2a6 （1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn?log31?log32?...?log3n，求数列{
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aaa11??1
1?an?11?an1?an?1n,记Sn??bk，证明：Sn?1
k?1n21}的前n项和 bn3.已知等差数列{an}满足a2?0, a6?a8??10. (1)求数列{an}的通项公式及Sn （2）求数列{
4.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1?a(a?0)，b1?a1?1，b2?a2?2，b3?a3?3 （1）若a?1,求数列{an}的通项公式 （2）若数列{an}唯一，求a的值
5.设数列{an}满足a1?2，an?1?an?3?22n?1 （1）求数列{an}的通项公式
（2）令bn?nan，求数列{bn}的前n项和Sn
2
6.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上，其中=1，2，3，? （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) ?(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； （3） 记bn=
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an}的前n项和 n?12112，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1. ?anan?23Tn?17.已知等差数列{an}满足：a3?7,a5?a7?26，{an}的前n项和Sn （1）求an及Sn （2）令bn?
8．已知数列?an?中，a1?3，前n和Sn?①求证：数列?an?是等差数列 ②求数列?an?的通项公式 ③设数列?1an?12（n?N），求数列{bn}前n项和Tn
?1(n?1)(an?1)?1 2?1??的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn?M对一切正整数n都成立？若存在，aa?nn?1?求M的最小值，若不存在，试说明理由。
9.数列?an?满足a1=8，a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N），
?（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?1(n?N*)，Sn?b1?b2????bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有
n(12?an)Sn?
m总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 3221
数列总结、等差数列、等比数列、求通项方法总结、求和方法总结
