. . . .
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x＋2x－3<0”是命题．
2
( × ) ( × )
(2)“sin 45°＝1”是真命题．
(3)命题“三角形的角和是180°”的否命题是三角形的角和不是180°. ( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．
( √ ) ( × )
(5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．
3
(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝π”．
2
( √ )
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是 A．若a≠－b，则|a|≠|b|
.... .
( )
. . . .
B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 答案 D
解析 命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.
π
3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )
4π
A．若α≠，则tan α≠1
4π
B．若α＝，则tan α≠1
4
π
C．若tan α≠1，则α≠
4π
D．若tan α≠1，则α＝
4答案 C
ππ
解析 命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”，故
44选C.
4．(2013·)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 a＝3时A＝{1,3}，显然A?B. 但A?B时，a＝2或3.所以A正确．
5．(2012·)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的
( )
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 由条件推结论和结论推条件后再判断． 若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数， 但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，
则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
( )
.... .
. . . .
题型一 四种命题及真假判断
2
例1 (1)下面是关于复数z＝的四个命题：
－1＋i
p1：|z|＝2， p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为 A．p2，p3 C．p2，p4
( )
B．p1，p2 D．p3，p4
x(2)已知命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是
x ( )
A．否命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题 B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真． 答案 (1)C (2)D
22－1－i
解析 (1)z＝＝＝－1－i，
－1＋i－1＋i－1－i
所以|z|＝2，p1为假命题；z＝(－1－i)＝(1＋i)＝2i，p2为真命题，z＝－1＋i，
2
2
2
xxxp3为假命题；p4为真命题．故选C.
(2)命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．
π1
(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是
32
( )
π1
A．若α＝，则cos α≠
32π1
B．若α≠，则cos α≠
32
1π
C．若cos α＝，则α＝
23
xx .... .
. . . .
1π
D．若cos α≠，则α≠
23
(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 答案 (1)C (2)C
π1
解析 (1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是
32
1π
“若cos α＝，则α＝”．
23
(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C. 题型二 充要条件的判定
例2 已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是 A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x＋mx＋m＋3有两个不同的零点
f－xB．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数
2
( )
fxC．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β D．p：A∩B＝A；q：A?U，B?U，?UB??UA
思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D
解析 对于A，由y＝x＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；
f－x对于B，由＝1?f(－x)＝f(x)?y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能
2
2
fx推出
f－x＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；
fx对于C，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，由A∩B＝A，知A?B，所以?UB??UA； 反之，由?UB??UA，知A?B，即A∩B＝A. 所以p?q.
综上所述，p是q的充分必要条件的是D. 思维升华 充要条件的三种判断方法
.... .
. . . .
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
(1)(2012·)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )
1
A．x＝－ B．x＝－1
2C．x＝5
D．x＝0
(2)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的
( )
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 (1)D (2)C
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 (1)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)， ∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x. 又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.
(2)因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，
B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}
＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件. 题型三 充分条件与必要条件的应用
??log2x，x>0，
例3 (1)函数f(x)＝?x??－2＋a，x≤0
( ) A．a<0 1
C. 2 有且只有一个零点的充分不必要条件是 1 B．0 2D．a≤0或a>1 (2)设p：|4x－3|≤1，q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值围是 ?1?A.?0，? ?2? ?1? C．(－∞，0]∪?，＋∞? ?2? ( ) ?1?B.?0，? ?2? ?1?D．(－∞，0)∪?，＋∞? ?2? 思维启迪 (1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推 .... .
高中文科数学一轮复习1.2
