(2021年整理)量子力学20

（完整）量子力学20

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第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?.如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量,所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间.每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?un(x)?作为基矢组,所以称为F表象下的态矢空上面讨论的空间是以F间.?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化,则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cn?1

mn??mnn?2上式表明,当?(x,t)是归一化的波函数时，在力学量F表象下的波函数cn(t)也一定是归一化的2波函数.cn(t)的物理意义是在?(x,t)态下测量力学量F取值为fn的概率，系数cn(t)(n?1,2,?)称为波函数在力学量F表象下的表示。

?的正交归一完备的本征函数系??(x)?作为基当然，我们也可以用其它任一力学量算符Gn底，把?(x,t)作展开,即

?(x,t)??an(t)?n(x)

n那么,an(t)(n?1,2,?)就是?(x,t)在G表象下的波函数。

由此可知，态矢空间中的基底相当于几何学中的坐标系.选取不同的基底,相当于选取了不同的坐标系.在不同基底下得到的物理结果是相同的,但是，如果基底选取合适，则可能使问题的推导与计算更加简单.

下表是态矢空间与三维空间的比较。

态矢空间与三维空间的比较

希尔伯特空间 三维空间 ???ei、ej、ek ??ei?ej??ij 基矢组(基底） 基矢组正交归一条?un(x)? *u?mundx??mn 1

（完整）量子力学20 件 空间中的矢量 矢量展开式 矢量在基矢上的投影 维数 空间性质 二、坐标表象和动量表象

以一维问题为例。设?(x,t)是坐标表象中任意一个归一化的波函数.下面将导出波函数?(x,t)分别在坐标、动量表象中的表示。

1．波函数?(x,t)在坐标表象中的表示

坐标算符x满足的本征方程为

x?x?(x)?x??x?(x)

态矢量?(x,t) ?(x,t)??cn(t)un(x) n?矢量A ????A?Axei?Ayej?Azek ??Ax?ei?A cn(t)??u(x)?(x,t)dx ???*n可以有限,也可以无限 复空间 3维 实空间 并且已经求出了它的本征值及相应的规格化本征函数为

?x??(??,?) ???x?(x)??(x?x?)由展开假定可知，状态?(x,t)可以向坐标的本征函数展开

?(x,t)??cx?(t)?(x?x?)dx?

???其中，展开系数

cx?(t)???(x?x?)?(x,t)dx???(x?x?)?(x,t)dx??(x?,t)

?????*?显然，它就是坐标表象中的波函数。即?(x,t)在本征值为x的基矢上的投影就是它本身。

2．波函数?(x,t)在动量表象中的表示

若要得到波函数?(x,t)在动量表象中的表示，既可以以坐标为自变量，也可以以动量为自变量来进行。

（1）以x为自变量

?满足的本征方程为 在坐标表象中，动量算符p??i??p?(x)?p??p?(x)

?x它的本征值及相应的规格化波函数已经求出

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