热力学与统计物理 课程教案
为求使ln?为极大的分布，我们令各al有δal的变化，ln?将因而有δln?的变化。使ln?为极大的分布?al?必使δln??0：
?alδln????ln??ωl?l???δal?0 ?但这些δal不完全是独立的，它们必须满足条件：
δN??δal?0，δE??εlδal?0
ll用拉格朗日未定乘子α和β乘这两个式子并从δln?中减去，得：
?al??δln??αδN?βδE????ln?α?βεl?δal?0 ?ωll??根据拉氏乘子法原理，每个δal的系数都等于零，所以得：ln即：al?ωle?α?βεlal?α?βεl?0， ωl。此式给出了玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布，称为麦克斯
韦-玻耳兹曼分布或玻耳兹曼分布。 2、几点说明：
（1）、上面只证明了玻耳兹曼分布使ln?的一级微分等于零，即使ln?取极值。要证明这个极值为极大值，还要证明玻耳兹曼分布使ln?的二级微分小于零。请同学们课后证明
（2）、玻耳兹曼分布出现的概率是最大的。
（3）、在前面的推导中，对所有的al都应用了①式的近似，这个条件实际上往往并不满足。
（4）、前面的讨论中，假设系统只有一种粒子，即系统是单元系，这个限制不是原则性的，可以推广到含有多个组元的情形。
（5）根据前面的推导，可以直接写出经典统计中玻耳兹曼分布的表达式：
al?e?α?βεl?ωl rh0?ωl?α?βεl?ωl， E?εe?lrrh0h0l16
其中α、β满足：N??e?α?βεll主讲教师：
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6．7 玻色分布和费米分布
本节导出玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布。
考虑处在平衡态的孤立系统，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。 以εl?l?1,2,??表示粒子的能级，ωl表示能级εl的简并度。以?al?表示处在各能级上的粒子数。显然分布?al?必须满足条件： ?al?N， ?alεl?N ①
ll才可能实现。上节导出了与一个分布?al?相应的系统的微观状态数?。 玻色系统的?为：???l?ωl?al?1?! ②
al!?ωl?1?!ωl! ③
al!?ωl?al?!费米系统的?为：???l根据等概率原理，对于处在平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，使?为极大的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。 1、玻色分布
先考虑玻色系统。对②式取对数，得
ln???ln?ωl?al?1?!?lnal!??lnωl?1?!
l假设al??1,ωl??1，因而ωl?al?1l?ωl?al,ωl?1l?ωl，且可用斯特令公式可得：
??ln?????ωl?al?ln?ωl?al??allnal?ωllnωl?
?l?令al有δal的变化，ln?将因而有δln?的变化。使?为极大的分布?al?必使
δln??0：
δln????ln?ωl?al??lnal?δal?0
l但是各δal不是任意的，必须满足条件：
δN??δal?0，δE??εlδal?0
ll主讲教师：
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用拉氏乘子α和β乘这两个式子，并从δln?中减去，得：
δln??αδN?βδE????ln?ωl?al??lnal?α?βεl?δal?0
l根据拉氏乘子法原理，上式中每一个δal的系数都必须为零，所以得：
ln?ωl?al??lnal?α?βεl?0，
即：al?ωleα?βεl?1。此式给出了玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布，称为玻色-
爱因斯坦分布或玻色分布。 2、费米分布
现在推导费米系统的最概然分布。将式③取对数，得
ln???lnωl!?lnal!?ln?ωl?al?! ③
l假设al??1,ωl??1,ωl?al??1，则上式可近似为：
ln????ωllnωl?allnal??ωl?al?ln?ωl?al??
l根据上式的ln?，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为：al?ωleα?βεl?1
上式称为费米-狄拉克分布。
6．8 三种分布的关系
前面导出了玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布 玻耳兹曼分布为：al?ωle?α?βεl ① 玻色分布为：al?ωleα?βεl?1 ②
费米分布为：al?ωleα?βεl?1 ③
其中参数α和β由下述条件确定：
主讲教师：
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?al?N， ?alεl?N
ll由玻色分布和费米分布可以看出，如果参数α满足条件：eα??1，则式②和式③分母中的?1就可以忽略。这时玻色分布②和费米分布③都过渡到玻耳兹曼分布①式。当满足eα??1时，显然：
al。所以上述两个条件是等价??1（对所有l）
ωl的，都称为经典极限条件或非简并性条件。此时有：
?F.D??M.B.??B.E N!在§6.6我们是在粒子可以分辨的假设下导出玻耳兹曼分布的。自然界中有些系统可以看作由定域的粒子组成，例如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。这些粒子虽然就其量子本性来说是不可分辨的，但可以根据其位置而加以区分。在这意义上可以将定域粒子看作可以分辨的粒子。因此，由定域粒子组成的系统（称为定域系统）遵从玻耳兹曼分布。
值得注意，定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的。前者为?M.B.后者为?M.B./N!。因此，对于那些直接由分布函数导出的热力学量（例如内能、物态方程）,两者具有相同的统计表达式。然而,对于例如熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异。
主讲教师：
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第六章 近独立粒子的最概然分布教案
