热力学与统计物理 课程教案
子占据3个个体量子态有以下的方式：
① ② A A ③ A A 量子态1 A 量子态2 A 量子态3 因此，对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。
前面介绍了如何描述由全同近独立粒子组成的多粒子系统的微观运动状态，为后面讨论近独立粒子的统计分布作准备。在经典力学基础上建立的统计物理学成为经典统计物理学，在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。
6.4 等概率原理
本节讲述平衡态统计物理的基本假设-等概率原理。宏观状态与微观状态的区别。热力学与统计物理研究宏观物质系统的特性。宏观物质系统由大量微观粒子构成，其粒子数的典型数值为1023/mol。作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征。例如，对于一个孤立系统，可以用粒子数N、体积V和能量E来表征系统的平衡态。状态参量给定之后，处在平衡态的系统的所有宏观物理量就都具有确定值，系统处在一个确定的平衡态。系统的微观状态则是上节所讲述的力学运动状态。显然，在确定的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生着及其复杂的变化。以理想气体为例，给定N、E、V只要求N个分子的质心坐标都在体积V之内，N个分子的能量总和为E。可以想见，大量的微观状态都可以满足这个条件，都是有可能实现的。由于分子间的频繁碰撞，微观状态不断地发生极其复杂的变化。
统计物理学认为，宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。为了研究系统的宏观特性，没有必要、实际上也没有可能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此确定各微观态出现的概率是统计物理的根本问题。对于这个问题，玻耳兹曼在19世纪70年代提出了著名的
主讲教师：
11
热力学与统计物理 课程教案
等几率原理：对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。等几率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。似乎不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论上的正确性。
说 明：既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。
6．5 分布和微观状态
1、分布的概念
设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。
以εl?l?1,2,??表示粒子的能级，ωl表示能级εl的简并度。N个粒子在各能级的分布可以描述如下：
能 级 ε1,ε2,?,εl,? 简并度 ω1,ω2,?,ωl,? 粒子数 a1,a2,?,al,?
即能级ε1上有a1个粒子，能级ε2上有a2个粒子，??，能级εl上有al个粒子，??。为书写方便，以符号?al?表示数列a1,a2,?,al,?，称为一个分布。显然，对于具有确定N、E、V的系统，分布?al?必须满足条件： ?al?N， ?alεl?N
ll分布和微观状态是两个不同的概念。给定一个分布?al?，只能确定处在每一个能级εl上的粒子数al。如前所述，对于玻色系统和费米系统，确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。因此在分布给定后，为了确定玻色（费米）系统的微观状态，还必须对每一个能级确定al个粒子占据其ωl个量子态的方式。对于玻耳兹曼系统，确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的
主讲教师：
12
热力学与统计物理 课程教案
个体量子态。因此在分布给定后，为了确定玻耳兹曼系统的微观状态，还必须确定处在每一能级εl上的是哪al个粒子，以及在每一能级εl上al个粒子占据其ωl个量子态的方式。由此可见，与一个分布?al?相应的微观状态往往是很多的。这微观状态对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统显然不同，下面分别加以讨论： 2、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的分布 （1） 玻耳兹曼系统
对于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，若对粒子加以编号。al个编了号的粒子占据能级?l上的?l个量子态时，由于一个量子态可以容纳的粒子数不受限制，因此共有种ωll可能的占据方式。这就是说，在玻耳兹曼系统中，al个粒子占据能级?l上的?l个量子态时，是彼此独立、互不关联的。a1,a2,?,al,?个编了号的粒子分别占据能级ε1,ε2,?,εl,?上的各量子态共有?ωll种方式。玻耳兹曼
ala系统的粒子既然可以分辨，交换粒子将给出系统的不同状态。将N个粒子加以交换，不管是否在同一能级，交换数是N!。在这交换数中应除去同一能级上al个粒子的交换数al!。因此得因子N!?al!。所以，对于玻耳兹曼系统，与分布?al?l相应的微观状态数是：?M.B.?（2） 玻色系统
alN! ① ω?la!?lll粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子个数不受限制。首先计算
al个粒子占据能级εl上的ωl个 量子态有多少种可能方式。将量子态和粒子数编号后排成一行，最左方固定为量子态1，其余的量子态和粒子的总数是
?ωl?al?1?个，将它们加以排列共有?ωl?al?1?!种方式。因为粒子是不可分辨
的，应除去粒子间的相互交换数al!和量子态的交换数?ωl?1?!。这样可得到，al个粒子占据能级?l上的?l个量子态，有?ωl?al?1?!/al!?ωl?1?!种可能的方式。 将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布?al?相应的微观状态数为：
主讲教师：
13
热力学与统计物理 课程教案
?B.E??l?ωl?al?1?! ② al!?ωl?1?!（3） 费米系统
粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。al个粒子占据能级?l上的?l个 量子态，相当于从?l个量子态中挑出al个来为粒子所占据（注意，有ωl!/al!ωl?al!种可能的方式。将各能级的结果相乘，就得到费米ωl?al）
系统与分布?al?相应的微观状态数为：
???F.D??lωl! ③
al!?ωl?al?!3、经典极限条件
如果在玻色系统或费米系统中，任一能级?l上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即
al??1 （对所有的l） ④ ωl则式②给出的玻色系统的微观状态数可以近似为：
?B.Ea?ωl?al?1?!?ωl?al?1??ωl?al?2??ωlωl??????al!?ωl?1?!al!al!llll??M.B. N!式③给出的费米系统的微观状态数也可以近似为：
?F.Dωl!ωl?ωl?1???ωl?al?1?ωll?M.B.?????????a!ω?a!a!a!N!lllllllla
式④称为经典极限条件，也称非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。
4、经典统计中的分布和微观状态数
将μ空间划分为许多体积元?ωl?l?1,2,??。以εl表示运动状态处在?ωl内的
r粒子所具有的能量。由于粒子的微观运动状态由大小为h0的相格确定，?ωl内粒r子的运动状态为?ωl/h0，与量子统计中的简并度相当。这样，N个粒子处在各
?ωl的分布可以描述如下： 主讲教师：
14
热力学与统计物理 课程教案 体积元 ?ω1,?ω2,?,?ωl,? 简并度
?ωl?ω1?ω2,,?,,? rrrh0h0h0能 级 ε1,ε2,?,εl,? 粒子数 a1,a2,?,al,?
如前所述，经典粒子可以分辨，处在一个相格内的经典粒子数没有限制。因此，在经典统计中与分布?al?对应的微观状态数?c1可以参照玻耳兹曼系统的
??ωlN!????M.B.直接写出为：c1?r?al!l??h0l??? ?al6．6 玻耳兹曼分布
上节求出了与一个分布?al?相对应的系统的微观状态数。根据等概率原理，对于处在平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的概率最大，称为最概然分布。本节推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。
在推导玻耳兹曼分布以前，先证明一个近似等式（斯特令公式）
lnm!?m?lnm?1? 其中m是远大于1的整数。①
1、玻耳兹曼分布
由于???M.B.?alN! ②，玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布是使ω?la!?lll?为极大的分布。由于ln?随?的分布是单调的，可以等价地讨论使ln?为极
大的分布。将②式取对数得
ln??lnN!??lnal!??allnωl ③
ll假设所有的al都很大，可以应用①式的近似，则上式可化为：
ln??N?lnN?1???al?lnal?1???allnωl?NlnN??allnal??allnωlllll主讲教师：
15
第六章 近独立粒子的最概然分布教案
