热力学与统计物理 课程教案
空间量子化。 （4）、自由粒子
首先讨论一维自由粒子。设粒子处在长度为L的一维容器中，我们采用周期性边界条件，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长λ的整数倍等于容器的长度L，即：L?nxλ，nx?0,1,2?
根据波矢量大小kx与波长的关系，并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向，便可求得波矢量kx的可能值为：kx?2πnx，nx?0,?1,?2,? L将上式代入德布罗意关系，可得一维自由粒子动量的可能值为：
px?2π?nx nx?0,?1,?2,? Lnx就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数。一维自由粒子能量的可能值为：εnx22px2π2?2nx???， nx?0,?1,?2,? 能量也取决于nx。 2mmL2现在讨论三维自由粒子。设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量px,py,pz的可能值为：
2π?nx nx?0,?1,?2,? L2π?py?ny ny?0,?1,?2,?
L2π?pz?nx nz?0,?1,?2,?
Lpx?三维自由粒子能量的可nx,ny,nz就是表征三维自由粒子运动状态的量子数。
22222n?n?n12π?xyz222能值为：ε? px?py?pz??2mmL2????如果粒子局域在微观大小的空间范围内运动，例如电子在原子大小的范围、核子在原子核大小的范围内运动，则上式给出的动量值和能量值的分立性是显著的。注意粒子的运动状态由三个量子数nx,ny,nz表征，而能级只取决于
222的数值。因此处在一个能级的量子态一般不止一个。例如，能级nx?ny?nz2π2?2有6个量子态，简并度是6。 mL2主讲教师：
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如果粒子是在宏观大小的容器内运动，上式给出的动量值和能量值是连续的。考虑在体积V?L3内，在px到px?dpx，py到py?dpy，pz到pz?dpz的动量范围内自由粒子的量子态数。由于px与nx是一一对应的，且相邻的两个nx之差为1。因此在px到px?dpx的范围内，可能的px的数目为：
dnx?Ldpx 2π?Ldpy 2π?同理，在py到py?dpy的范围内，可能的py的数目为：dny?在pz到pz?dpz的范围内，可能的pz的数目为：dnz?Ldpz 2π?既然自由粒子的量子态由动量的三个分量px、py、pz（或三个量子数nx、
ny、nz）的数值表征，在体积V?L3内，在px到px?dpx，py到py?dpy，pz到pz?dpz内，自由粒子的量子态数为：
V?L?dnxdnydnz??dpdpdp?dpxdpydpz ?xyz3h?2π??上式可以根据不确定关系来理解。不确定关系指出，粒子坐标的不确定值?q和与之共轭的动量的不确定值?p满足：?q?p?h。因此，如果用坐标q和动量p来描述粒子的运动状态，一个状态必然对应于μ空间中的一个体积，称它为相格。对于自由度为1的粒子，相格的大小为h。如果粒子的自由度为r，相格大小为：
3?q1????qr?p1????pr?hr
因此，将μ空间的体积Vdpxdpydpz除以相格大小h3而得到的三维自由粒子在Vdpxdpydpz内的量子态数。
在某些问题中，往往采用动量空间的球极坐标p、θ、φ来描写自由粒子的动量。p、θ、φ与px、py、pz的关系为：
px?psin?cos?；py?psin?sin?；pz?pcos?
用球极坐标、动量空间的体积元为p2sinθdpdθdφ。所以在体积V内，动量大
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小在到p到p?dp，动量方向在θ到θ?dθ，φ到φ?dφ的范围内，自由粒子可
Vp2sinθdpdθdφ能的状态数为：。再对θ和φ积分可得：
h3?4πVp2dp h32π0dφ?sinθdθ?4π
0π可得在体积V内，动量p到p?dp的范围内，自由粒子可能的状态数为：
根据ε?p22m，可以求出体积V内，能量ε到ε?dε的范围内，自由粒子可能的状态数为：D?ε?dε?2πV3212??2mεdε。 3hD?ε?表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。 6.3 系统微观运动状态的描述
前面介绍了粒子运动状态的经典描述和量子描述，现在进一步讨论如何描述整个系统的微观运动状态。本节限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统。 1、全同近独立粒子系统
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，例如，4He原子组成的氦气或自由电子组成的自由电子气体是全同粒子组成的系统。
近独立粒子组成的系统，是指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：E??εi。
i?1N式中εi是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。注意，εi是只是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其它粒子的坐标和动量无关。理想气体就是由近独立粒子组成的系统。理想气体的分子，除了相互碰撞的瞬间，都可以认为没有相互作用。应当说明，近独立粒子之间虽然相互作用微弱，但仍然是
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有相互作用的。
2、经典力学中系统微观运动状态的描述
首先讨论在经典力学中如何描述系统的微观运动状态。设粒子的自由度为任一时刻，第i个粒子的力学运动状态由r个广义坐标qi1,qi2,?qir和r个广义r，
动量pi1,pi2,?,pir的数值确定。当组成系统的N个粒子在某一时刻的力学运动状态都确定时，整个系统在该时刻的微观运动状态也就确定了。因此确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量，这2Nr个变量就是qi1,qi2,?qir；
pi1,pi2,?,pir?i?1,2,?,N?。 在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。这是因为，经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的。只要确定每一粒子在初始时刻的位置，原则上就可以确定每一粒子在初始时刻的位置。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，在交换前后，系统的力学运动状态是不同的
一个粒子在某时刻的力学运动状态可用μ空间中的一个点表示。由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态可在μ空间中用N个点表示，如前所述，如果交换两个代表点在μ空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。 3、系统微观运动状态的量子描述
在讨论系统微观运动状态的量子描述以前，首先介绍量子物理的一个基本原理-微观粒子全同性原理。微观粒子全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。这原理与经典物理关于全同粒子可以分辨的论断是完全不同的。
假如全同粒子可以分辨，确定由对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个个体量子态上的粒子数。 4、基本粒子的分类。
自然界中微观粒子可以分为两类：玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自
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旋量子数为半整数的。例如电子、μ子、质子、中子等自旋量子数都是12，是费米子；自旋量子数是整数的，例如光子自旋量子数为1、π介子自旋量子数为0，是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
5、费米系统、玻色系统和玻耳兹曼系统
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理。泡利不相容原理说，在含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。在统计物理学的早期，玻耳兹曼把粒子看作是可以分辨的，并导出了这种粒子的统计分布。现在我们把由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻耳兹曼系统。我们举一个简单的例子说明玻耳兹曼系统、费米系统和玻色系统的区别。设系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个。现在考察对于玻耳兹曼系统、费米系统和玻色系统各有哪些可能的微观状态。
玻尔兹曼系统，粒子可以分辨，每一个体量子态能够容纳的粒子数不受限制，以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态可以有以下的方式： ① ② ③ AB ④ A B ⑤ B A ⑥ A B ⑦ B A ⑧ A B ⑨ B A 量子态1 AB 量子态2 AB 量子态3 因此，对于玻尔兹曼系统，可以有9种不同的微观状态。
玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于粒子不可分辨，令A=B，两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式：
① ② ③ AA ④ A A ⑤ A A ⑥ A A 量子态1 AA 量子态2 AA 量子态3 因此，对于玻色系统，可以有6种不同的状态。
费米系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能容纳一个粒子，两个粒
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第六章 近独立粒子的最概然分布教案
