专题 05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题
1．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知函数
f (x) e
x 2
ax ．
（1）若 a 1 ，证明：当 x 0 时， f (x) 1 ； （2）若 f (x) 在 (0, 【解析】（ 1）当 a
设函数
) 只有一个零点，求 a ．
1时， f (x) 1等价于 (x2 1)e x 1 0 ．
2
x
g(x) ( x 1)e 1，则
2 x 2 x
g' (x) (x 2x 1)e (x 1) e ．
x 当 1时， g'( x) 0 ，所以 g( x) 在 (0,
0，故当 x 0
g( x) 时，
)单调递减．
而 g (0) 0，即 f ( x) 1．
①若 h (2) 0 ，即
2
a
e 4
2
，h( x) 在 (0, )没有零点；
②若 h (2) 0 ，即
a
e 4
，h( x) 在 (0, )只有一个零点；
③若 h (2) 0 ，即
2
a
e 4
，由于 h(0) 1，所以 h(x) 在 (0, 2) 有一个零点，
由（1）知，当 x 0
时，
x
e
x ，所以
2
h(4 a) 1
3 3 3
16a
4a
1
16a
2a 2
1
16a
4
1
1 a
．
0
e
) 有两个零点．
2
(e ) (2a)
故 h(x) 在(2,4 a) 有一个零点，因此 h(x) 在 (0,
综上， f (x) 在(0, )只有一个零点时，
a
e
．
4
2x
x
2．（2017 新课标全国Ⅰ理科）已知函数
f (x) ae (a 2)e x .
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 . 【解析】（1） f (x) 的定义域为 (
, ) ， ( ) 2 e2
f x
a
(
x
2)e a
1 ( e
x
1)(2e
x
1)
x
a
，
（ⅰ）若 a
（ⅱ）若 a
0，则 f (x) 0 ，所以 f (x) 在(
ln a .
, ) 单调递减 .
0，则由 f (x) 0 得 x
当 x ( , ln a) 时， f (x) 0；当 x ( ln a,
, ln a) 单调递减，在 ( ln a,
) 时， f (x) 0， ) 单调递增 .
所以 f (x) 在 (
又
4 2 2
f ( 2) ae
0
(a 2)e
2 3 a
2e 2 0 ，故 f (x) 在 (
n
0
, ln a) 有一个零点 .
n
n
0
设正整数 n 满足 n0 由于
ln(
n
，则
f (n ) e (ae 1) 0
0
a 2) n e
0
n 2
0
n
0
0 .
0
3 a 1)
ln a
ln(
，因此 f (x) 在 ( ln a, ) 有一个零点 .
2
综上， a 的取值范围为 (0,1) .
【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化
. 已知函数 f (x) 有 2 个零
点求参数 a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，
y 判断 a 与其交点的个数， 从而求出 a 的取值范围； 第二种方法是直接对含参函数进行研究，
f (x) 有 2 个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于
0 的点.
mx
2
研究其
0，且后
单调性、极值、最值，注意点是若 面还需验证最小值两边存在大于 3．（2015 新课标全国Ⅱ理科）设函数
f (x) e x mx ．
（Ⅰ）证明： f (x) 在(
（Ⅱ）若对于任意 x1, x2
,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增；
[ 1,1]，都有 | f (x1) f (x2 ) | e 1，求 m的取值范围．
( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知，对任意的
m ， f (x) 在[ 1,0] 单调递减，在 [0,1] 单调递增，故 f (x) 在 x 0处取得最
f (1)
小值．所以对于任意
x1, x2 [ 1,1]， | f (x1) f (x2) | e 1的充要条件是
f (0) e 1,
即
f ( 1) f (0) e 1,
m
e
m
m e 1,
①，设函数 g(t )
t t
e t e 1，则 g' (t) e 1．当 t 0时， g' (t ) 0 ；当 t 0时，
e +m e 1，
g' (t) 0 ．故 g (t) 在 (
,0) 单调递减，在 (0,
) 单调递增．又 g (1) 0，
1
g( 1) e 2 e < 0 ，故
当t [ 1,1]时，g (t) 0．当 m [ 1,1]时， g(m) 0，g( m) 的单调性， g (m)
0 ，即①式成立； 当 m 1时，由 g (t)
0，即 em m e 1；当 m 1时， g( m) 0 ，即e m +m e 1．综上可知， m
的取值范围是 [ 1,1]．
mx
【名师点睛】 ( Ⅰ) 先求导函数
f '( x) m(e 1) 2x ，根据 m 的取值范围讨论导函数在 ( ,0) 和
(0, ) 的符号即可； ( Ⅱ) f ( x1 ) f ( x2) e 1恒成立，等价于 f ( x1) f (x2) e 1．由 x1,x2 是
max
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