（新高考）高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练第7讲
选修44坐标系与参数方程教学案理
第7讲 选修4－4 坐标系与参数方程
■真题调研——————————————
【例1】 [2024·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
???4t??y＝1＋t1－tx＝2，1＋t2
2
(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最小值．
22
y?2?1－t?21－t4t?2
解：(1)因为－1＜＝1，所以C的直角坐标方2?＋2≤1，且x＋??＝?1＋t?2??1＋t??1＋t2?2
2
程为x＋＝1(x≠－1)．
4
2
y2
l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.
??x＝cosα，
(2)由(1)可设C的参数方程为?
?y＝2sinα?
(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
π??4cos?α－?＋11
3?|2cosα＋23sinα＋11|?
＝.
77
π?2π?当α＝－时，4cos?α－?＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.
3?3?【例2】 [2024·全国卷Ⅱ]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线
C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
π
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
3
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． π
解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，
3
ρ0＝4sin＝23.
π3
π
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
3
π??设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos?θ－?＝|OP|3??＝2.
π??π??经检验，点P?2，?在曲线ρcos?θ－?＝2上．
3?3???π??所以，l的极坐标方程为ρcos?θ－?＝2.
3??(2) 设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.
?ππ?因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是?，?.
?42??ππ?所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈?，?. ?42?
π??3π??【例3】 [2024·全国卷Ⅲ]如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B?2，?，C?2，?，4??4??
D(2，π)，弧，，?π?所在圆的圆心分别是(1,0)，?1，?，(1，π)，曲线M1是弧
2??
. ，曲线M2是弧，曲线M3是弧 (1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标． 解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝
π??2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ?0≤θ≤?，M2的极坐标方程
4??3π??π?3π?为ρ＝2sinθ?≤θ≤?，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ?≤θ≤π?.
4??4?4?
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知，
ππ
若0≤θ≤，则2cosθ＝3，解得θ＝；
46
π3ππ2π
若≤θ≤，则2sinθ＝3，解得θ＝或θ＝； 4433若
3π5π≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝. 46
π??π??2π??5π??综上，P的极坐标为?3，?或?3，?或?3，?或?3，?. 6??3??3??6??
π??π??【例4】 [2024·江苏卷]在极坐标系中，已知两点A?3，?，B?2，?，直线l的
4??2??π??方程为ρsin?θ＋?＝3.
4??
(1)求A，B两点间的距离； (2)求点B到直线l的距离．
π??π??解：(1)设极点为O.在△OAB中，A?3，?，B?2，?，由余弦定理，得
4?2???
AB＝?ππ?22
3＋?2?－2×3×2×cos?－?＝5.
?24?
π??(2)因为直线l的方程为ρsin?θ＋?＝3， 4??π?3π?则直线l过点?32，?，倾斜角为.
2?4?π??又B?2，?，所以点B到直线l的距离为
2??(32－2)×sin?
?3π－π?＝2.
?2??4
■模拟演练——————————————
1．[2024·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1
x＝t，??2?3??y＝2t
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0，点P的极坐标是?
(1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；
?2152π?
，?. 3??3
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积． 1
x＝t，??2
解：(1)由?
3y＝t，??2π
， 3
π
所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
3
消去t，得y＝3x，则ρsinθ＝3ρcosθ，所以θ＝
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