高考数学专题八平面向量精准培优专练
1．代数法
例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a??a?b?，则b在a方向上的投影为（ ） A．3 【答案】C
【解析】考虑b在a上的投影为
a?b，所以只需求出a，b即可． bB．?3 C．?33 2D．33 22由a??a?b?可得：a??a?b??a?a?b?0，
所以a?b??9．进而
2．几何法
a?b?933???．故选C． b223例2：设a，b是两个非零向量，且a?b?a?b?2，则a?b=_______． 【答案】23 【解析】可知a，b，a?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由a?b?a?b?2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a?2的菱形， 从而可求出另一条对角线的长度为3a?23．
3．建立直角坐标系
uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC?2BD，CA?3CE，则AD?BE?__________．
AEB
CDuuuvuuuv1【答案】AD?BE??
4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
1
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， ?3??1??1?0,B?,0C?如图建系：A?，，???,0?， ?2?2???2???
uuuv?1?uuv?13??,CE?x?,y?，CA??Ex,y?，∴?下面求E坐标：令????， 222??????1?11??3?x?2???2?x??13?3uuvuuuv??????由CA?3CE可得：?，∴E??3,6??， 33????y?3y???6??2uuuv?uv?53?uuuvuuuv3?uu1AD?0,?BE?,AD?BE??????∴，，∴． ???66?24????
对点增分集训
一、单选题
1．已知向量a，b满足a?1，b?2，且向量a，b的夹角为实数?的值为（ ）
?，若a??b与b垂直，则41A．?
2【答案】D
B．
1 2C．?2 4D．2 4【解析】因为a?b?1?2?cos?2?2，所以?a??b??b?2???4?0???，故选D． 442．已知向量a，b满足a?1，b?2，a?b?7，则a?b?（ ） A．1 【答案】A
B．2 C．3 D．2
2
【解析】由题意可得：a?b?a?b?2a?b?1?4?2a?b?7，则a?b?1．故选A． 13．如图，平行四边形ABCD中，AB?2，点M在AB边上，且AM?AB， AD?1，?A?60o，
3uuuuvuuuv则DM?DB?（ ）
222
A．?1 【答案】B
B．1 C．?3 3D．3 3uvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuvuuu【解析】因为AM?AB，所以DB?AB?AD，DM?AM?AD?AB?AD，
33uuuvuuuvuuuvuuuv?1uuuvuuuv?1uuuv24uuuvuuuvuuuv2则DB?BM?AB?AD??AB?AD??AB?AB?AD?AD
3?3?3??141??4??2?1??1?1．故选B． 332uuuvuuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB?a，AC?b，则uuuvAO?（ ）
11A．a?b
2211B．a?b
2411C．a?b
4211D．a?b
44【答案】B
uuuv1uuuvAE?AC△ABC【解析】由题意，在中，BE是边AC的中线，所以，
2uuuv1uuuvuuuv又因为O是BE边的中点，所以AO?AB?AE，
2uuuv1uuuvuuuv1uuuv1uuuv11所以AO?AB?AE?AB?AE?a?b，故选B．
22224????5．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD?1，AB?BC?2，?BCD?120o，动点P和Q分别v1uuuvuuuvuuuvuuvuuuvuuuDC，则AP?BQ的最大值为（ ） 在线段BC和CD上，且BP??BC，DQ?8?
3
A．?2 【答案】D
【解析】因为AB∥CD，CD?1，AB?BC?2，?BCD?120o， 所以ABCD是直角梯形，且CM?3，?BCM?30?，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
3B．?
2C．
3 49D．
8
v1uuuvuuvuuuvuuuDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上， 因为BP??BC，DQ?8??1?1?，B?2，0?，P2??,3?，Q?，3?， 则???0，?8??uuuvuuuv11?1?AP?BQ?2??，3????2，3??5???4?， 所以
4?8?8??????令f????5??111?， ?4?且???0，4?8由基本不等式可知，当??1时可取得最大值， 则f???max?f?1??5?119?4??．故选D． 488uuvuuuv6．已知△ABC中，AB?2，AC?4，?BAC?60?，P为线段AC上任意一点，则PB?PC的范围是（ ） 4? A．?1，4? B．?0，?9?4? C．??，4??4? D．??2，【答案】C
【解析】根据题意，△ABC中，AB?2，AC?4，?BAC?60?，
则根据余弦定理可得BC?4?16?2?2?4?cos60??12，即BC?23．∴△ABC为直角三角形
2?，C23，0， 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A?0，2?? 4
则线段AC的方程为x23uuvuuuv4103设P?x,y?，则PB?PC???x，?y?23?x，?y?x2?y2?23x?x2?x?4．
33v9uuvuuu∵0?x?23，∴??PB?PC?4．故选C．
4?y?1，0?x?23． 2????7．已知非零向量a，b，满足a?A．
? 4B．
? 22 b且?a?b???3a?2b??0，则a与b的夹角为（ ）
23?C． D．?
4【答案】A
【解析】非零向量a，b，满足a?22 b且?a?b???3a?2b??0，则?a?b???3a?2b??0，
22∴3a2?a?b?2b2?0，∴3a?a?b?cos??2b?0， 1222b?b?b?cos??2b?0， 22??2∴cos??，??，∴a与b的夹角为，故选A．
442∴3?uuvuuuvPQ?2a8．在Rt△ABC中斜边BC?a，以A为中点的线段，则BP?CQ的最大值为（ ）
A．?2 【答案】B
B．0 C．2 D．22 【解析】∵在Rt△ABC中斜边BC?a，∴BA?CA， ∵A为线段PQ中点，且PQ?2a，
uuvuuuvuuuvuuvuuuvuuvuuvuuuvuuv222??a?BA?AQ?AQ?CA??a?AQBA?CA??a?AQ?CB??a2?a2cos?， ∴原式
??uuvuuuv当cos??1时，有最大值，BP?CQ?0．故选B．
1o9．设向量a，b，c，满足a?b?1，a?b??，a?c,b?c?60，则c的最大值等于
2（ ） A．1
B．2 C．3 D．2
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高考数学专题 平面向量精准培优专练
