则和式可改写为
工 工 0(/7 応〃応)(△$)”
最后当各小块的最大直径2 — 0时，如果和式的极限存在，则该极限值就是时间内流过Illi 面Z的液体体积，其屮工P(&，a，G(ASh的极限称作函数P(x,y9z)在曲面S上对坐 标尹,z的|11|面积分，记作\\\\P{x,yyz)dydz,即
类似地，有
S
/=1
Jp?(兀y,z)dxdy = \\m￡R(&,q，G(竺)切?
S
Z
fT \
2. 基本性质
1)第一类曲面积分：
a?线性性：尹,z) + 0g (x,y, z)) dS =町〃(兀』,z) 〃S + 0 JJg (x,尹,z)dS.
S
E
S
b?对积分曲面的可加性：
JL f(x9 y9 z)dS + jL /(x,y, z)dS = J[
/(x, yy z)dS,(￡ AE2 =0)；
I 2 12
d.对称性：设分块光滑iihffls关于兀0尹平面对称，iiii曲在z轴上方的部分记作s「设其方
程为z = z(x,y),曲面在z轴下方的部分记作S2,并设P(x9y,z)是S上的连续函数，则
0, P(x, y, z)关于z是奇函数 JJP(x』,z)dS =
2 fjP(x9 y, z)dS, P(x,y, z)关于z是偶函数- 2)第二类曲面积分(以上/(兀』,z)张创型积分为例说明，其它类型类似):
a?线性性:
b.对积分曲面的可加性:
血 /(X，” z)dxdy + f(x, y, z)dxdy =血匹
f\\x,y,z)dxdy,(Xl AZ2 =0)
c?设有向曲面工的反向曲面为》一,
则有从/(3皿处=-瓜/(3)必姒
d?对称性：设分块光滑llh而S关于xOy平面对称，Illi面在Z轴上方的部分记作5 ,设其
方
程为z = z(x,y),曲面在z轴下方的部分记作S?,并设P(x,y,z)是S上的连续函数，则
[0, P(x,y9z)关于z是偶函数
呼, y,z)dxdy = 2严 ,y,z)dxdy, P(x,y,z)关于z 是奇函数， 3) 两类曲线积分的关系
设曲面工的法向量为(cos Q,COS0,cosy),则有
JjPcos a + Q cos (3-\\- R cos ydS = jjPdydz + Qdzdx + Rdxdy .
￡
I
也可以写成如下的向罐形式：^v-dS= ^v^idS或[p?dF= [|\\dS ,其屮
n = (cos a. cos P，cos x)为 有向lill面 为在点(x.y.z)处 的单 位 法 向
量.dS = ndS = (dydz,dzdx、dxdy)称为有向面积元，匕为向量值函数7在向量方上的投影.
3. 重要公式定理
1)高斯公式
定理：设空间闭区域G是由分块光滑的闭曲而工围成的，函数
+叫.
P(x, y, z), Q(x,y, z), 7?(x, y, z)在。上具冇一阶连续偏导数，则冇
2)斯托克斯公式
定理：设「是分段光滑的空间冇向闭曲线，Y是以「为边界的分片光滑冇向曲面，工与厂 的Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 方向符合右手规则(当拇指以外的四指沿着厂的方向运动吋，拇指所指的方向与工上法
| Pdx + Qdy + Rdz = dydz + dzdx +
dy dz dz dx I & dy ) r
向量的指向一致)，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在工上具有一阶连续偏导数，贝U有
dR 8Q dP dR
4. 主要计算方法
1)对面积的曲面积分的计算方法
设曲面Y由函数z = z(x^),(x,y)GJO确定,其中D为XOY平面上一有界闭区域. 则有计算公式: Jj7(x,”z)dS = JJ7(x,”z(x,y))J
Z
1 + z； + z^dxdy.
D
计算时，首先将变量z转化为z(x,y),再将於转化为Jf+zf+zJ/妙，最后再确定Illi 面工在XOY平面上的投影即可.
2)对坐标的曲面积分的计算方法
设积分曲面工是由函数z = z(x,j),(x,y)GZ)vvm确定曲面的上侧(其中%.为XOY平面 上一有界闭区域)，
因为S取上侧，则有cos/ > 0 ,因此(AS)” = cosy\\Si =(Aq)“(其中(AcrJ^是面积 元A5‘在XOY平而上的投影)?因此，我们有
/=1 ? /=1
令几TO即可得到^R{x,y,z)dxdy = ,y,z(x,y))dxdy. 为 %,
计算吋，首先将变量z转化为z(x,y),最后再确定曲而》在XOY平而上的投影即可. 注意，如果积分是取的1111面的下侧的话，公式应该札I应地变为
07?(兀,y, z)dxdy = -jjR(x, y, z(x9 y))dxdy. 》 4,
同样地，我们还有公式
^P(x,y,z)dydz = ^P(x(y,z),y,z)cfydz (其中积分取曲而指向x轴正方向一侧).
2
Dy:
^Q{xyy,z)dzdx= jjQ(x,y(z,x),z)dzdx (其屮积分取曲面指向y轴正方向一侧).
3) 利用两类曲面积分的关系
JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = |J( Pcosa + 0cos p + 7?cos/)dS，
结合对面积的曲面积分的计算公式,我们可以得到对坐标的曲面积分的计算公式:
其中工是由函数z = z(x,y)决定的曲面的上侧?由多元函数的几何应用可知，曲面
z = z(x.y)上侧的点(兀尹二(兀』))处的外法线方向的方向向量
(cos a. cos 0、cos /)=
我们有:
(-zv,-zv,l) ?进而由对面积的IW面积分的计算公式
Z
1 ^Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = JJ ----- ------------------
S
Jl + (zJ+CJ
—P?zx—Q?Zy+%ds= ^-P-zx-Q-zv+Rdxdy,
Sy
其中2,是曲面E在XOY平面上的投影?当曲面是兀=x(y,z)，或尸y(x,z)时我们也有 相丿应形式的公式.
4) 利用高斯公式
高斯公式的应用与第二类曲线积分的格林公式的应用比较接近.
四. 场论初步
1. 散度
向量值函数, = (P,Q,R)的散度定义为等+詈+詈，记作div：
dQ dP dR 5Q 向量值函数v = (P,Q,R)的旋度定义为 dz ' dz dx ，& l勿 —?
(8R dP} 莎k d &
旋度的计算公式也可以写为
d P
dx
R
2. 旋度
III考点精讲
一. 三重积分的计算
1. 利用直角坐标
【例 1］：计算 ^\\(x+y)dxdydz , 其中 fl:%? + y2 <2z,z <2 . 答案：16兀
22,记作rotu
?
? 3
+ ydxdydz ,其中 Q 由 z = x + y,z = \\,z = 2 围成.
222【例 2】：计算
考研数学高等数学强化资料-多元函数积分学(数学一).doc
