⑶ 比较定理：f (x, y)ds < ￡ g(x, y)ds. f (x, y) < g(x, y):
(4)对称性： a?奇偶性：假设厶关于y轴対称，则
「
[0, f(x,y)关丁N是奇函数
\俎/?(“)关丁，是偶函数’其屮厶是L在第一四象限内的部 分. b?轮换对称性：假设厶关于直线尹=兀对称，则
2) 对坐标的曲线积分的性质 a.线性性：￡ aP(x, y)dx + /3Q(x, y)dy 二 & J P(x,y)dx + 0 J Q(x, y)dy
b?对积分弧段的可加性：
P(x, y)dx + Q(x,y)dy
=J L
、P(x,y)dx + Q(x, y)dy + J ? P(x,y)dx + Q(x, y)dy,(L QL =0,L =厶 U 厶2)；
t2c?设有向弧段厶的反向弧段为匸,贝惰
F(x9y)dr ~^F(x,y)dr ；
d?对称性：假设厶关于y轴对称，则
f [0,
F(xj)关于兀是偶函数 P(x』)关丁N是奇函数
关于兀是偶函数
0\心 2jpg)办,
%
0(兀』)关于X是奇函数
其屮厶是厶在第一四象限内的部分.
3) 两类曲线积分的关系
| Pdx + Qdy-\\- Rdz = J [PCOSQ + 0cos 0 + 7?cosy0s.
3. 重要公式定理
1) 格林公式
定理：设闭区域D由分段光滑Illi线厶围成，函数P(x,y)及0(x』)在D上具有连续的一
￡ Pdx + Qdy
JI dx dy
?dQ dP} dxdy ,其中曲线厶取正向边界.
阶偏导数，则有:
D \\
注：花运用时要注意检验P(x,y)及是否具有所需的连续的一阶偏导数.
该公式的意义在于将对坐标的曲线积分转化为我们相对比较熟悉的二重积分，降低了计算难 度.同时，由该定理出发还可以得到如下结论：
2) 平面上曲线积分与积分路径无关的条件
设函数P(x, y)及Q(x,y)在单连通区域G上具冇连续的一阶偏导数.
我们想要讨论对坐标的曲线积分［+ 0(x,y)妙在什么条件下只与厶的起点A 和终点B有关，而与具体的积分路径无关.
设厶,厶是从A到B的两条分段光滑1111线，则
[P(x,y)dx + Q(x,y)dy= [ P(x,y)dx
J/-I
J/J
+ Q(x,y)dy当且仅当
P(x,y)dx + g(x,y)dy + ￡ P(x,y)dx + y)dy = 0 (其中厶;表示厶？的反向路径)?
若令厶二厶U厶；，则厶就成为区域G内的一条分段光滑的曲线?由上述讨论nJ知,
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 当 且 仅 当 J厶
JZ*2
f P^y)dx^Q(x,y)dy = ()(其中积分方向取正向边界). J厶
再设D是曲线厶所围成的区域，则由格林公式可得：
iPdx + Qdy = || 雲-甞 dxdy. \趴 ox Sy)
也就是说，如果要求曲线积分\\P^y)dx + Q^y)dy在区域G内为积分路径无关则有 口(型—兰)次妙=0,其屮D为G内任一子区域.而川(越―竺肚妙二。对任意区域 北 dx dy 计 8x dy
D成立又要求有譽-齐0成立?由此我们可以得到如下定理:
定理：设函数P(x,y)及0(x,y)在区域G上具有连续的一阶偏导数，则曲线积分
+ Q^y)dy在G内与积分路径无关的充要条件是拏=迟在G内恒成立. ex dy ^P(x,y)dx
3) 二元函数的全微分
定理：设函数尸(兀刃及0(兀刃在单连通区域G上具冇连续的一阶偏导数，则
P(x,y)dx + Q(x,y)dy在G内为某一函数的全微分的充分必要条件是越=兰在G内恒 dx dy
成立.
先取定G内一定点(x0,y0),则原函数u{x,y)的计算公式为
u{x,y) = ￡ Pdx + Qdy,^中厶(x,y)为从点(心几)到(x,y)的任意路径?为计算简便起
见，可以选择与兀轴及y轴平行的垂直折线，具体的计算公式为
f P(x』())/+ f Q(x,y)dy 或f P(x,y)dx+『Q(x0,y)(Jy.
^y() Jx。 Jy()
4. 主要计算方法
1) 对弧长的曲线积分的计算方法
设曲线厶的参数式为J *
= %(Z)
,a { f(x,y)ds = ￡/(兀⑴,W))J(x a))'+?'(/)『t. 注：对该公式可以结合曲线弧氏计算公式来记忆，具体证明过程要了解.计算时要注意，积 分 上限一定要大于下限?该公式还可以推广到三维，设三维曲线厶的参数式为 X = x(t) < y-y(f).a Z = z(/) { f(X, y)ds = ￡/(x(Z), y(t\\z(/))^(x(/))~ + (;/(/))' +(z(/))~dt. ^f(x,y)ds= f/(x,/(x))Jl + (/(对 dx .这里可以把函数y二/(x), a 特殊形式：如果曲线厶是由函数y = f(x)9a 参数式 如果曲线厶是由极朋标方程r = p{O\\a { f (兀，P)ds = f /[p(0)cos &,°(&)sin &] Jp? (&) + [° (&)] X = Q(&)COS & \\ I ,a<0< 0? y = 方程r = p(O)理解为参数式 Q(&)sin0 2办?这里可以把极朋标 2)对坐标的曲线积分的计算方法 设曲线厶的参数式为 \\\a K{ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ￡[P(x(Z), y(f))x (/) + 0(x(/), y(t))y (f) dt. 特殊形式：如果曲线厶是山函数y = f{x\\a ￡ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ￡[ P(x, /(%)) + Q(x,/(%))/' (x)JZr. 三. 曲面积分 1. 基本概念 1) 对面积的曲面积分(第一类曲面积分) 物理背景，厚薄不均的曲而型物件的质量. 定义：设》为三维空间中的光滑曲面，函数/(x』,z)在该曲线上冇界?将Y分为刃个小块, 设第7个小块的面积为 d ,在第，个小块上任取一点，作和式 为如果当各小块的最大直径2TO吋，该和式的极限存在，我们就把该 7=1 极限称为函数/(x,y,z)在曲而力上对而积的曲而积分或第一类曲而积分，记作 J[/(x』,z)dS. 2) 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) 物理背景：设流动的不可压缩液体的速度场 由向最值函数 v(x,y,z) =(P(x,y, z)9Q(x,y,z),7?(x,y,z))确定.X 是速度场小一块有向 llll面(所谓有向 曲而是指将曲而的一侧 规定为曲面的方向)，我们想要求岀单位时间内流过该曲面的液体的 体积. 定义：设Y为三维空间中的有向光滑曲面，向量值函数 v(x,y,z) =(P(x,y, z),Q(x,y,z),R(x,yy z))在该ill]面上育界.将Y分为斤个小块，设第/ 个小块的而积为在第7个小块上任取一点7,5)，则单位时间内通过第，个小块 的液体体积可近似表示为其中⑦是有向iw面工在点(&， □，?)处的法 向量，设Hi = (cosa.cosp,cos/),则冇 WaOmASj =(P(&，a，Gcosa + Q(gj,77j，Gcos0 + R(&，a，Gcosy)g. 因此，单位时间内流过曲面2的液体体积近似于和式 乞(P(&，E，Gcosa + Q(&,77i，Gcos0 + R(gMj，Gcosy)ASj. /=1 由法向量的意义可知，costs’实际上是有向面积元在YOZ平面上的投影，因此记 cos a^Si = (AS,)旳?同样记cos (3\\Si = (, cos y\\Sj = (AS J ?
考研数学高等数学强化资料-多元函数积分学(数学一).doc
