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模块十一 多元函数积分学（*数学一）
I教学规划
【教学目标】
1、 回顾多元函数微分学的基本概念、基本性质和常用公式
2、 全面掌握各类重积分及曲线、曲面积分的计算方法，形成系统的计算思路
【主要内容】
1、 三重积分的概念、性质和计算方法 2、 第一类曲线积分的概念、性质和计算方法 3、 第二类曲线积分的概念、性质和直接计算的方法 4、 格林公式的使用 5、 积分与路径无关的条件 6、 二元函数的全微分 7、 斯托克斯公式的使用
8、第一类曲面积分的概念、性质和计算方法 9、第二类曲面积分的概念、性质和直接计算的方法 10、 高斯公式的使用 11、 场论初步
【重难点】
1、 格林公式的使用 2、 积分与路径无关的条件 3、 高斯公式的使用
II知识点回顾
一. 三重积分
1. 基本概念
设/Cr』,z）是空间有界闭区域G上的有界函数.将。任意分成n个小闭区域，其中△匕表 示第7个小闭区域，也表示它的体积?在每个上任取一点作乘积
/（纟,％,「JU （ 7 = 1,2,???,〃），并作和工/（纟,口用）△匕.用4表示△岭的肓径’
当
/=1
t/ = max{^.}趋于零时，如果和的极限总存在，则称该极限值为函数f（x,y9z）在区域0上
的三重积分，记作旳，W：
JJJ/（X』，z）dv = lim ￡ / （石,r）t ,rz）A
￡2 /=1
岭,
注：三重积分表示密度为/（兀,”Z）的空间形体Q的质量?我们看到，三重积分的定义完全 是将二重积分的定义推广到三重积分，本质上是一样的，故三重积分的性质与二重积分的性 质类似：
2. 基本性质
二重积分的所冇性质都可以平行地移到三重积分中来，这里不再一一赘述.
3 ?计算三重积分的主要方法
1）利用直角坐标系
利用直角处标计算有两种情况：\先一后二\和“先二后一〃.
（1） “先一后二”法（以先对变量Z积分为例）：
沿着Z轴方向白下而上画一条直线，找到该直线与积分区域的上下两个交点，设这两个交 点在Z方向的坐标分别为zg）和Z2（兀,刃,则它们分别为积分变量Z的上下限;然后再 找出积分区域在兀-平面上的投影Dxy ,则该三重积分可表示为
口必妙『（：：/任』,刃比.其中，计算二重积分时可选用直角坐标也可以选用极坐标.如l（x，y）选 S 用极坐标，则该积分坐标又称为柱而坐标.
（2） “先二后一〃法（以最后变量z积分为例）：
作一个垂直于Z轴的平而，找到该平而与积分区域截而在xoy平而上的投影2,则计算二 重积分时的积分区域即为再确定Z的上下限即可.此时三重积分可表示为
2) 利用球面坐标
球面坐标简介:球面坐标通过三个变量式來确定三维空间中的点?其中p为点到原点的距离, 确定了该距离后，该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上；0(Q<0< 2TT)和
(p(O<(p<^是两个角度：将xoy平面x>0部分的半平面逆时针旋转，当旋转到经过该点
时，所转过的角度即为0,可见，&的作用类似于地球仪上的经度；将该点与原点连接， 该连线与2轴正半轴的夹角即为0,对见0的作用类似于纬度(只不过这个纬度是以南纬
x = /?sin/cosO
90度作为0度的).它与直角处标系的转换公式为< y = ps\\n(psin0 .
三重积分球而朋标转换公式:
3) 利用对称性
三重积分与二重积分有相同的对称性，对称性包括奇偶性和轮换对称性两人类:
(1)奇偶性：假设积分区域关于坐标平面xOp对称，则
[0, /(x, y, z)关于z为奇函数
卩/(兀,y, z)dv = 2出/(兀,y, z)dv, /(兀,y z)关于z为偶函数?
(2)轮换对称性:假设积分区域关于平而= x对称，则lfl/(x,y,z)c/v= fff/(y,x,z)c/v.
二. 曲线积分
1. 基本概念
1) 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
物理背景，粗细不均的曲线形物件的质量.
定义：设厶为XOY平面内的一条光滑曲线，函数/(兀』)在该曲线上有界?将厶分为〃个 小段，设第z个小段的长度为 H 在第j个小段上任取一点g, 7)，作和式工込? 如果当各小段的最大长度2 TO时，该和式的极限存在，我们就把该极限称为函数/(X』)
在曲线厶上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作［/(x,y}ds.
2) 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
物理背景，变丿J沿曲线做的功.
定义：设厶为XOY平面内从/点到3点的一条有向光滑曲线,函数P(x』)，O(x,y)在该 曲线上有界?将厶分为/7个冇向弧段,在第7个小段上任取一点(6，〃J，作和式
与?如果当各小段的最大长度几TO时，和式
7=1
i=\\
工p(&，m 的极限存在，我们就把该极限称为函数/(X』)在曲线厶上对处标*的曲线 /=!
积分，记作(4兀刃弘?类似地，如果和式乞Pg,77闷 的极限存在，我们就把该极限
/=1
称为函数f(x,y)在曲线厶上对坐标夕的曲线积分，记作［Q(x,y)dy. 上述定义可以推广到三维的情况.
注：要结合物理背景理解第二类曲线积分.(P(x』),0(x』))可以理解为变力由物理知 识可知力在甌甌+|上所做的功nJ近似地计算为
F (纟，％) ? Mg =m，Q(&, U)) ? a, Ayz) = P(&, 7)0 + Q(6，U)Ay，
而和式+0(6，%)Ax则近似农示变力F沿着曲线厶从A到B所做的功?当
/=1
划分取得无限细时，可知该和式的极限\\LP(x,y)dx+ ［0(x,y)dy实际就是变力&在有向 弧段厶所做的功，该和式记作^P{x,y)dx+^Q{x,y)dy= ^F{x,y)dr.
2. 基本性质
1) 对弧长的曲线积分的性质
⑴ 线性性：((a/(x,y) + 0g(x』)M = a[/(x』)ds + 0[g(x,y)d&；
(2)对积分弧段的可加性：
￡ f (x, y)ds = J /(x, y)ds+ J /(x, y)ds,(厶 U 厶2 =厶厶 D d = 0)；
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