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第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
一、学前明考情——考什么、怎么考
[真题尝试]
1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x－2)2＋y2＝2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] C．[2,32]
B．[4,8] D．[22,32]
解析:选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C,半径为r,点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d,则圆心C(2,0),r＝2,所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为
|2＋2|
＝22,可得dmax＝222
12
＋r＝32,dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22,所以△ABP面积的最大值为1
|AB|·dmax＝6,△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上,△ABP面积的取值范围是[2,6]．
2
2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝( )
4A．－
3C.3
3
B．－
4 D．2
解析:选A 因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4),所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝
|a＋4－1|4
＝1,解得a＝－.
3a2＋1
3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l:x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|＝________.
解析:如图所示,∵直线AB的方程为x－3y＋6＝0,∴kAB＝
3
,∴∠BPD＝30°,从而∠3
BDP＝60°.在Rt△BOD中,∵|OB|＝23,∴|OD|＝2.取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB,∴OH为直角梯形ABDC的中位线,∴|OC|＝|OD|,∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案:4
[把握考情]
1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法,圆的最值问题． 常规角度 2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题． 主要以选择题、填空题形式考查,有时也会以解答题形式考查,难度中低档 创新角度 与三角形(或四边形)结合求面积问题,与向量、三角函数相交汇考查最值或范围教案、讲义、课件、试卷、PPT模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。（双击此处可删除）
问题 二、课堂研题型——怎么办、提知能
圆的方程求法 [典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0),l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2),
?y＝k?x－1?由?得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ?y2＝4x
Δ＝16k2＋16＞0,故
2k2＋4
x1＋x2＝2. k
所以|AB|＝|AF|＋|BF| 4k2＋4
＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.
k4k2＋4
由题设知2＝8,
k解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程为y＝x－1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3), 即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0), y0＝－x0＋5??则? ?y0－x0＋1?2
2＋16.?2??x0＋1?＝
?x0＝3?x0＝11
解得?或?
y＝2y＝－6.?0?0
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [方法技巧]
1．确定圆的方程必须有3个独立条件
不论是圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a,b,r或D,E,F)的值需要确定,因此需
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要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a,b,r(或D,E,F)的三个方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值,从而确定圆的方程．
2．几何法在圆中的应用
在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算,如已知一个圆经过两点时,其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用．
[针对训练]
1．(2019·湖北名校摸底)过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析:选C 由题知直线AB的垂直平分线为y＝x,直线y＝x与x＋y－2＝0的交点是(1,1),所以圆的圆心为(1,1),所以圆的半径为2,故圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.
2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C1:(x＋1)2＋(y－1)2＝1,圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称,则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析:选B 圆C1:(x＋1)2＋(y－1)2＝1,圆心C1为(－1,1),半径为1.易知点C1(－1,1)关于b－1
??a＋1＝－1
直线x－y－1＝0对称的点为C,设C(a,b),则?a－1b＋1
??2－2－1＝0
2
2
??a＝2
得?所以C2(2,
b＝－2??
－2),所以圆C2的圆心为C2(2,－2),半径为1,所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.故选B.
直线与圆位置关系的判断 [典例感悟] 1．(2019·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )
A．相切 C．相离
B．相交 D．不确定
解析:选B 法一:x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9,故圆|?a＋1?－?a－1?＋2a||2a＋2|
心坐标为(1,－1),半径r＝3,圆心到直线的距离d＝＝.再根据r2
222
?a＋1?＋?a－1?2a＋2－d2＝9－
4a2＋8a＋47a2－4a＋7
＝.而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0,故有
2a2＋2a2＋1
高考数学一轮复习讲义 第9章 第2节 第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
