大学微积分常见问题与解答)

辅导答疑

第一章 微积分的基础和研究对象

1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？

答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。

微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。 2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？ 答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。

《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。

第二章 微积分的直接基础-极限

1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？

答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。

芝诺的说法中有合理的成分：阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过程--一个无穷的位置变化过程。芝诺的说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。

芝诺的结论\阿基里斯永远也追不上乌龟\中的\永远\一词，指的当然是\时间\。条件中谈的是\位置\的变化，结论却谈\时间\，这是芝诺悖论偷梁换柱之所在。

事实上，阿基里斯追赶乌龟的悖论的解决借助于高等数学的一部分重要内容---无穷级数，在那里，我们将会看到，尽管是无穷多个数相加，却可以等于一个有限的数。虽然芝诺将追赶时间一段一段叙述，造成无穷多个时间的迷惑，实际上，这无穷多个时间的和是个有限的数。从而，阿基里斯在有限的时间内就可以追赶上乌龟了，这与我们的生活常识一致。 2．问：极限的定性描述和定量描述有何不同之处？

答：极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如，“无限趋近”“越来越靠近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；为避免直观想象可能带来的错误判断，作为微积分工具的极限概念，必须有定量描述的精确定义。

在R.克朗的名著《数学是什么》一书中，数学大师也提到：定量描述极限的语言接受起来有一定的心理上的困难，但是文科学生要通过这种定量定义，理解、领悟、欣赏数学语言区别于自然语言的简洁、一义、科学、严谨的方面。 3．问：如何理解连续的概念？连续函数有什么应用？

答：自然界中连续变化的现象是很多的，例如，我们身边的容易理解例子：空气的流动，植物的生长，温度的变化，这种种现象反映到数学的函数关系上，就是函数的连续性。实际遇到的情形是：当自变量的改变非常小时，相应的函数值改变也非常小。例如，气温作为时间的函数，就有这种性质。一天之中的温差

可能很大，但考虑时间间隔很短的瞬间，温度的改变将是很微小的。

连续函数是大学数学中着重要讨论的一类重要函数。一方面，连续函数是人们在科学实验，生产实践中经常碰到的一类函数（例如，初等函数在其有定义的区间内均为连续的）；另一方面，在数学上，人们经常用连续函数去逼近非连续函数，进而研究非连续函数的性质和近似计算函数值。

第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题-导数与微分

1. 问：导数是如何引进的？举例说明导数的实际运用。

答：在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度。例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就要知道卫星的飞行速度，要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线的斜率，等等。

求曲线的切线斜率、求速度的问题，叫做求变化率的问题，数学上称为求导数。

例如，我们可以应用导数的概念，证明旋转抛物面的光学性质。（抛物线绕它的对称轴旋转所形成的曲面就是旋转抛物面。放在焦点处的光源所发出的光，经过旋转抛物面各点反射之后就形成平行光束，人们利用这一性质制造需要发射平行光的灯具，例如，探照灯、汽车前灯等）。 2. 问：如何理解微分的概念？

答：可以从多个角度和方面来理解和加深对微分的认识。 1）从几何角度考，微分dy?f?(x0)dx正好是切线函数的增量；

2）从代数角度看，微分dy?f?(x0)dx是增量?y?f(x0??x)?f(x0)的线性主要部分，二者之差是一个高阶无穷小量o(?x)； 3）有了微分的概念以后，可以把导数的记号

dy?f?(x0)，故导数也称为微商； dxdy解释为dy与dx之商：dx4）可以利用微分做近似计算和误差估计（?y?dy），但精度受限。

第四章 导数的应用问题-洛必达法则、函数的性质和图像

1. 问：微分学的中值定理的作用？如何运用中值定理解决问题

答：微分中值定理是由函数的局部性质来研究函数的整体性质的桥梁，其应用十分广泛。

在具体处理问题时，注意首先确定函数以及讨论的区间，判断函数在所讨论的区间上是否满足中值定理的条件。人们常用中值定理证明某些不等式或者涉及函数和它的一阶导数的问题。

补充一点：中值定理有三种常用的形式：Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，这三种形式一个比一个适用范围要广。但最常用的还是Lagrange中值定理，故人们一般提到微分中值定理时均指Lagrange中值定理。 2. 问：应用计算不定式极限的一般方法-洛必达法则时，有什么注意事项？

f?(x)答：1）洛必达法则可以处理7种函数不定式极限，十分好用；但是在极

g?(x)限不存在的情况下，洛必达法则失效；故，不能从限不存在；

f?(x)f(x)极限不存在推出极?g(x)g(x)2）尽管洛必达法则只针对未定式是函数的极限形式，但对于未定式是数列的极限形式，可以通过归结原则将数列极限转化为函数极限，再利用洛必达法则。（注意：没有数列极限的洛必达法则）

3. 问：利用导数研究函数的图像和进行函数图像的绘制与初等数学中的描点作图的区别是什么？

答：中学《代数》应用描点法绘制了一些简单函数的图像。但是应用描点法得到的函数是比较粗糙的，这是因为，描点法所选取的点不可能很多，而一些关键的点，如极值点、拐点等可能被漏掉；曲线的单调性、描述其弯曲性质的凸性等一些重要性态常常得不到确切的反映。因此，用描点法所描绘的函数图象常与真实的函数图象相差很多。现在，有了微积分这个工具，我们已经掌握了应用导数讨论函数单调性、极值、凸性、拐点、渐近线等的方法，再结合前面所讲的周期性、奇偶性等知识就能比较准确地描绘函数的图像。

注意，利用微积分的方法作图，也具有一定的局限性，更何况许多实际问题

所得到的函数不一定可以用公式表示的，而只是测得一系列数据，因而数值计算适当地多算出一些点，然后描点作图，仍不失为一种有效的作图方法。随着电子计算机的发展和应用的普及，用描点作图就更方便、更精确了。

第五章 微积分的逆运算问题-不定积分

1. 问：不定积分与原函数是同一个概念吗？

答：不是同一个概念。前者是一个集合，是所有原函数构成的集合，后者是集合中的一个元素。

2．问：不定积分运算与微分运算（求导运算）有何关系？ 答：由不定积分的定义，有如下关系式：

d[?f(x)dx]?f(x)dx 或 d[?f(x)dx]?f(x)dx

?F?(x)dx?F(x)?C 或 ?dF(x)?F(x)?C

由此可见，微分运算 (记号为d) 与不定积分运算 (记号为?)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。 3. 问：第一类换元积分法与第二类换元积分法有何不同？ 答：第一类换元积分法：若

连续可导, 则

?f(?(x))??(x)dx?F(?(x))?C。

第二类换元积分法：设

是单调的可微函数,并且

又

具有原函数. 则有换元公式

不同在于：前者是作变量代换?(x)?t，后者是作变量代换x??(t)。

在求不定积分时，先考虑用第一换元积分法，即凑微分法，如果用此法失效，再考虑用第二换元积分法。

4. 问：在分部积分法如何选取u(x),v(x)？

答：在分部积分公式?udv?uv??vdu中，一般来说，选取u(x),v(x)的原则就