第六章 思考题与习题
6.1 最小拍设计的要求是什么？在设计过程中怎样满足这些要求？它有什么局限性？ 答：最小拍控制是指系统在典型输入信号（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少个采样周期使系统输出的稳态误差为零。最小拍控制系统也称最小拍无差系统或最小拍随动系统。显然这种系统对闭环脉冲传递函数的性能要求是快速性和准确性。因此，事实上最小拍控制就是一类时间最优控制，系统的性能指标就是要求调节时间最短。 最少拍控制的定义： 所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式 ?(z)??1z?1??2z?2???Nz?N
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。 最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。 闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定：
由上图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为
E(z)R(z)?Y(z)
?e(z)???1??(z) R(z)R(z) E(z)?R(z)?e(z)1典型输入函数
r(t)?tq?1 (q?1)!B(z)对应的z变换
R(z)? (1?z?1)qB(z)是不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式。 根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为 e(?)?lim(1?z?1)E(z)?lim(1?z?1)R(z)?e(z)z?1z?1
B(z) ?lim(1?z?1)?e(z)z?1(1?z?1)q
由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e(∞)为零，Φe(z) 必须含有(1-z-1)因子，且其幂次数不能低于q，即
Фe(z)=1-Ф(z)=(1-z-1)QF(z) →Ф(z)=1-Фe(z)=1-(1-z-1)QF(z)
式中，Q≥q，F(z)是关于z-1的待定系数多项式。为了使Ф(z)能够实现， F(z)中的首项应取为1，即
F(z)=1+f１z-1+f2z-2+…+fpz-p
可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+Q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。
为了实现最小拍，Φe(z)中的z-1幂次须为最低。
令Q=q，特别当P=0时，即F(z)=1时，则所得Φe(z) 既可满足准确性，又可满足快速性要求，于是：系统在采样点的输出可在最少拍 (Nmin=q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择Ф(z)为 Фe(z)=(1-z-1)q Ф(z)=1－Фe(z)= 1-(1-z-1)q
1?(z)1?(1?z?1)q最少拍控制器D(z)为 D(z)??G(z)1??(z)G(z)(1?z?1)q
典型输入下的最少拍控制系统分析： (1)单位阶跃输入(q=1)
1 输入函数r(t)=1(t),其z变换为 R(z)?1?z?1
由最少拍控制器设计时选择的Ф(z) =1-(1-z-1)q=z-1
1可以得到 ?1E(z)?R(z)?e(z)?R(z)?1??(z)??(1?z)?1?1 1?z ?1?z0?0?z?1?0?z?2?1z?1?z?1?z?2?z?3?进一步求得 Y (z)?R(z)?(z)??11?z
以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。 (2)单位速度输入(q=2)
Tz?1 输入函数r(t)=t的z变换为 R(z)??12(1?z)
由最少拍控制器设计时选择的
Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2 可以得到
Tz?1?1?2?1 E(z)?R(z)?e(z)?R(z)?1??(z)??(1?2z?z)?Tz(1?z?1)2
进一步求得 Y(z)?R(z)?(z)?2Tz?2?3Tz?3?4Tz?4?以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。 (3) 单位加速度输入(q=3)
T2z?1(1?z?1)２
单位加速度输入r(t)=（1/2）t 的Z变换为 R(z)??132(1?z)
由最少拍控制器设计时选择的
Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3
11可以得到
E(z)?T2z?1?T2z?2 223916
Y(z)?R(z)?(z)?T2z?2?T2z?3?T2z?4?? 222上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。 3.最少拍控制器的局限性
(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差 对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其
它典型输入不一定为最少拍！ 一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。 反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。
由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。
(2)最少拍控制器的可实现性问题 最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。 亦即D(z)必须是物理可实现的，即当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来的输入无关。在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，这就要求数字控制器D(Z)不能有z的正幂项，即不能含有超前环节。为使D(z)物理上可实现，Ф(z)应满足的条件是：若广义脉冲传递函数G(z)的分母比分子高N阶，则确定Ф(z)时必须至少分母比分子高N阶。
根据上面的分析，设计最小拍系统时，考虑到系统的稳定性和控制器的可实现性，必须考虑以下几个条件：
1) 为实现无静差调节，选择Φe(z) 时，必须针对不同的输入选择不同的形式，通式为 ?e(z)?(1?z?1)QF(z)2) 为实现最小拍控制，F(z)应该尽可能简单，F(z)的选择要满足恒等式： Φ(z) + Φe(z) =1 3) 为保证系统的稳定性，Φe(z)的零点应包含G(z)的所有不稳定极点；
4) 为保证控制器D(z)物理上的可实现性，G(z)的所有不稳定零点和滞后因子均包含在闭环脉冲传递函数Φ(z) 中。
(3)最少拍控制的稳定性问题 只有当G(z)是稳定的(即在z平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有纯滞后环节时，式Ф(z)=1-(1-z-1)q才成立。
如果G(z)不满足稳定条件，则需对设计原则作相应的限制。
原因：在Ф(z) 中，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点互相对消。这是因为，简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。
解决方法：在选择Ф(z)时必须加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。
6.2 系统如图6-44所示，求r(t)=t时的最少拍系统的D(z)。 R(s)C(s)+?Ts 101?e s(0.1s?1)(0.05s?1)sT=0.2s-
解：（1）广义被控对象
?1?e?Ts?10 G(z)?Z???ss(0.1s?1)(0.05s?1)??
??10
?(1?z?1)Z?2? ?s(0.1s?1)(0.05s?1)?
0.76z?1(1?0.035z?1)(1?1.145z?1) ?(1?z?1)(1?0.135z?1)(1?0.018z?1)
广义被控对象零极点的分布： 圆外极点 无 ， i ? 0 圆外零点 p 1 ? ? 1.145 ， j ? 1
?1r ?1 延时因子 z p?2输入函数的阶次
（2）确定期望的闭环结构
?e(z)?(1?z?1)2F2(z)
?(z)?z?(r?1)(z?1)(1?1.145z?1)F1(z)
1Fz ) ?b1z?F2(z)?(1?cz?1)取 F 1 ( z ) 、 2 ( z )为最低阶，即 F 1 ( ? b 2、
??e(z)?(1?z?1)2(1?c1z?1)则： ??1?1?1?(z)?z(1?1.145z)(b?bz)?12
( z ) ?（3）根据 ? 1 ? ? e ( z ) ，联立方程
?b1?1.18得： ??b2??0.715
?c?0.819?1 ??e(z)?(1?z?1)2(1?0.819z?1) ???1?1?1?1?1?1 ??(z)?z(1?1.145z)(1.18?0.715z)?1.18z(1?1.145z)(1?0.606z)（4）确定控制器结构 ?1?1?1?(z)1.55(1?0.135z)(1?0.018z)(1?0.606z)D(z)??
G(z)?e(z)(1?z?1)(1?0.035z?1)(1?0.819z?1)
（5）检验输出响应的跟踪性能
0.236z?2?0.127z?3?0.164z?4)
Y(z)??(z)R(z)? (1?z?1)2 ?0.236z?2?0.599z?3?0.798z?4?0.997z?5? ?0.236z?2?0.6z?3?0.8z?4?1z?5?
6.6 具有纯滞后补偿的控制系统如图6-12所示，采样周期T＝1s，对象为
1?2s
G(s)e?2s?e s?1
求Smith预估器的控制算式 y?(k)
解：施密斯预估控制原理：实际工程上设计Smith预估器时，将其并联在控制器上，对上图作方框图等效变换，得到下图所示的形式。即与D(s)并接一补偿环节，用来补偿被控制对象
??s(s中的纯滞后部分。这个补偿环节称为预估器，其传递函数为 G P )( 1 ? e ) ，τ为纯滞后
时间。
则预估器的传递函数为
1
G?(s)?G(s)(1?e??s)?(1?e?2s) 1?s密斯预估器的输出可按下图计算，在此取PID控制器前一个采样时刻的输出u(k-1)作为预估器的输入。为了实现滞后环节，在内存中设置N个单元作为存放信号m(k)的历史数据，存储单元的个数N由下式决定：
N=τ/T （取整） u(k-1)m(k)+y?(k)式中：τ ——纯滞后时间； G(s)- T——采样周期。
e??s
图中，u(k-1)是PID数字控制器上一个采样（控制）周期的输出， yτ(k) 是施密斯预估器的输出。从图中可知，必须先计算传递函数G(s)的输出后，才能计算预估器的输出 y?(k)?m(k)?m(k?N)计算纯滞后补偿器的输出。先由图6-14求m(k)，再按式(6-22)得到yτ(k) 。
M(s)Km(t)
?G(s)?， T?m(t)?Ku(t?T)0 U(s)e?TsT0s?1dt
m(k)?m(k?1)T0?m(k)?Ku(k?1)， m(k)?am(k?1)?bu(k?1)
T
b?K(1?a)a?T0/(T0?T)
y?(k)?m(k)?m(k?N)
y(k)?ay?(k?1)?b?u(k?1)?u(k?N?1)? ?
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