概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 2 1nx??xi. ni?11n2S?(x?x). ?in?1i?1 样本标准差 1n2S?(x?x). ?in?1i?1 样本k阶原点矩 1nkMk??xi,k?1,2,?. ni?1样本k阶中心矩 1n???(xi?x)k,k?2,3,?. Mkni?1E(X)??，D(X)??2n， E(S2)??2，E(S*2)?2n?12?, n1n2其中S*??(Xi?X)，为二阶中心矩。 ni?1（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数 ut分布 defx???/n~N(0,1). 2设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，则样本函数 tdefx??s/n~t(n?1), 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 1
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?2分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数 wdef(n?1)S2?2~?2(n?1), 其中?2(n?1)表示自由度为n-1的?2分布。 F分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?12)的一个样本，而2y1,y2,?,yn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数 F其中 defS12/?12S/?2222~F(n1?1,n2?1), 1n1S?(xi?x)2, ?n1?1i?1211n2S?(yi?y)2; ?n2?1i?122F(n1?1,n2?1)表示第一自由度为n1?1，第二自由度为n2?1的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 X与S2独立。 第七章 参数估计
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（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数?1,?2,?,?m，则其分布函数可以表成F(x;?1,?2,?,?m).它的k阶原点矩vk?E(Xk)(k?1,2,?,m)中也包含了未知参数?1,?2,?,?m，即vk?vk(?1,?2,?,?m)。又设x1,x2,?,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 1nk?xi (k?1,2,?,m). ni?1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 ?1n????v1(?1,?2,?,?m)?n?xi,i?1?????1n2?v2(?1,?2,?,?m)??xi,?ni?1? ??????????????n????v(?,?,?,?)?1xim.?m12m?ni?1?由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(?1,?2,?,?m)即为参数（?1,?2,?,?m）的矩估计量。 ????)为g(?)的矩估计。 若?为?的矩估计，g(x)为连续函数，则g(??1
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极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;?1,?2,?,?m)，其中?1,?2,?,?m为未知参数。又设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称 L(?1,?2,?,?m)??f(xi;?1,?2,?,?m) i?1n为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{X?x}?p(x;?1,?2,?,?m)，则称 L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)??p(xi;?1,?2,?,?m) i?1n为样本的似然函数。 若似然函数L(x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m)在?1,?,?,?m处取2???到最大值，则称?1,?2,?,?m分别为?1,?2,?,?m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 ????lnLn??i ??0,i?1,2,?,m ?i??i??)为g(?)的极大若?为?的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(?似然估计。 （2）估计量的评选标准 无偏性 设???(x1,x2,?,xn)为未知参数?的估计量。若E （?）=?，则称 ????为?的无偏估计量。 E（X）=E（X）， E（S）=D（X） 有效性 设?1??1(x1,x,2,?,xn)和?2??2(x1,x,2,?,xn)是未知参数?的两个无偏估计量。若D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效。 ????2?????1
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一致性 设?n是?的一串估计量，如果对于任意的正数?，都有 n????limP(|?n??|??)?0, ?则称?n为?的一致估计量（或相合估计量）。 ?)?0(n??),则?为?的一致估计。 若?为?的无偏估计，且D(?只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）区置信区间估计 间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数?。如果我们从样本x1,x,2,?,xn出发，找出两个统计量???1??1(x1,x,2,?,xn)与?2??2(x1,x,2,?,xn)(?1??2)，使得区间[?1,?2]以1??(0???1)的概率包含这个待估参数?，即 P{?1????2}?1??, 那么称区间[?1,?2]为?的置信区间，1??为该区间的置信度（或置信水平）。 单正总体期望方差区间计 态的和的估设x1,x,2,?,xn为总体X~N(?,?)的一个样本，在置信度为1??下，我们来确定?和?2的置信区间[?1,?2]。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度1??，查表找分位数； （iii）导出置信区间[?1,?2]。 21
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