概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 （8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D 其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1 x y 1 O 图3.2 1 D2 2 x y d D3 c O a b x 图3.3 1
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（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 f(x,y)?12??1?21??2e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122????????????1?22(1??2)?12????1????2????, 其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 22记为（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2). 22但是若X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2)，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ??对于连续型，fZ(z)＝???f(x,z?x)dx 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（?1??2,?1）。 ??2n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ???Ci?i， ?2??Ci2?i2 iiZ=max,min(X1,X2,…Xn) 若X1,X2?Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)?Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： Fmax(x)?Fx1(x)?Fx2(x)?Fxn(x) Fmin(x)?1?[1?Fx1(x)]?[1?Fx2(x)]?[1?Fxn(x)] 1
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?2分布 设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W??Xi2 i?1n的分布密度为 nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,u?0, u?0.我们称随机变量W服从自由度为n的?2分布，记为W～?2(n)，其中 ?n????1?????x2e?xdx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 n?2分布满足可加性：设 Yi??2(ni), 则 Z??Yi~?2(n1?n2???nk). i?1k1
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t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 X~N(0,1),Y~?2(n), 可以证明函数 T?的概率密度为 XY/n ?n?1????t2?2???f(t)?1??nn??n??????2??????n?12 (???t???). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 t1??(n)??t?(n) F分布 设X~?2(n1),Y~?2(n2)，且X与Y独立，可以证明F?X/n1的概率密度函数为 Y/n2??n1?n2?????n12??????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2??????y?n12n1?12?n1??1?y??n2????n1?n22,y?0 0,y?0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). F1??(n1,n2)?1 F?(n2,n1)第四章 随机变量的数字特征
（1） 离散型 连续型 1
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一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P(X?xk)＝pk，k=1,2,…,n， 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， ??E(X)?E(X)??xkpk k?1n???xf(x)dx （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) nE(Y)??g(xk)pk k?1??E(Y)????g(x)f(x)dx ?? 方差 2D(X)=E[X-E(X)]， 标准差 D(X)??[xk?E(X)]2pk kD(X)??[x?E(X)]2f(x)dx ???(X)?D(X)， 矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)= k①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(X)=k?xikipi, ?????xkf(x)dx, k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期 k=1,2, …. ②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X望为X的k阶中心矩，记为?k，的k阶中心矩，记为?k，即 即 ?k?E(X?E(X)).=ik?k?E(X?E(X))k ， .= ?(xi?E(X))kpi?????(x?E(X))kf(x)dx, k=1,2, …. k=1,2, …. 1
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