第五讲 计算——工具与算法的变迁
研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、
纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．
初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等．
“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊
注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．
【例1】 现有四个有理数3，4，?6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：
(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．
链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算
变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；
(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．
程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．
【例2】 如果4个不同的正整数m、n、p、q满足(7?m)(7?n)(7?p)(7?q)?4，那么，m?n?p?q等于( )．
A．10 B．2l C．24 D．26 E．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)1?111????； (“祖冲之杯”邀请赛试题) 1?21?2?31?2?3???1002
2
2
2
2
2
2
(2)1949—1950+1951—1952+…+1997—1998+1999 (北京市竞赛题) 232002
(3)5+5+5+…十5．
思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．
链接：裂项常用到以下关系式： （1）
a?b11??； abab111??；
a(a?1)aa?1b11??．
a(a?b)aa?b（2）
（3）
运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有： （1）a?b?(a?b)(a?b)； （2）1?2?3???n?22n(n?1)． 2错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．
2004200420042004
【例4】(1)若按奇偶分类，则2+3+7+9是 数；
(2)设a?3，b?4，c?5 ，则a、b、c的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：3+4是5的倍数．
思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③a2n2002
2002
554433?0；④an与a的奇偶性相同；⑤在n4k?r中(k，r为非负整
4k?r数，n?0，0≤r<4)，当r=0时，n的个位数字与n的个位数字相同；当r?0时，?
4
n4k?r的个位数字与nr的个位数字相同．
【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：
（1）证明：可以得到22； （2）证明；可以得到2100?297?2．
思路点拨 （1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．
【例6】（1）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，e?0且e?1，那么
(?ab)2003?(c?d)2004?e2005的值为__________． (第19届江苏省竞赛题)
（2）已知S?1134k20052006??????(?1)k?1k???2005?2006，则小于S的最大整24816222数是______． （第11届“华杯赛“试题）
思路点拨 对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算S的值的范围．
【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （义乌市中考题）
是 输入x>500计算5x+1的值输出结果 否
思路点拨 看懂程序图，循环运算是解本题的关键．
【例8】如图所示是一3?3的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求k的值． （两岸四地少年数学邀请赛试题） 思路点拨 为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出k的值．
基础训练
一、基础夯实
1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;
200420032002 (2)若a= -,b=-,c=-,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号
200320022001连接〉. 2.计算:(1)0.7×1
4351+2×(-15)+0.7×+×(-15)=________; 9494 (第15届江苏省竞赛题)
1919197676 (2) -=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)
7676761919111 (3) ++…+=________; (天津市竞赛题)
3?55?71997?1999 (4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________. (第14届“五羊杯”竞赛题)
3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),?使得等式成立:6□3□2□12=24. (第17届江苏省竞赛题) 4.1999加上它的
111得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的 23411999,那么最后得到的数是
又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的_________.
5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为
A.
3,则输出的结果为( ). 27919 B. C. D. (2002年北京市海淀区中考题) 2422
数学竞赛专题讲座七年级第讲计算工具与算法的变迁含答案
