2012年GCT数学真题及解析（B卷）
第二部分 数学基础能力测试 （25题，每题4分，共100分）
1.在平面上，正方形共有（ ）条对称轴.
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选D
两对对边的平分线，和两条对角线所在直线都是正方形的对称轴，共有4条.
2.若a,b,c分别为?ABC的三边之长，则a?b?c?b?c?a?c?a?b?（ ）. A.a?b?c B.b?c?a C.3a?b?c D.3c?a?b 【解析】 选D
由三角形的性质三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得
a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0
则a?b?c?b?c?a?c?a?b?b?c?a?a?c?b?(a?b?c)?3c?a?b故选D.
3.边长分别为8厘米和6厘米的两个正方形ABCD与BEFG并排放在一起，如图所示，直线EG交
DC于P，AC交PG于K，则三角形AEK的面
积是（ ）.
A.48 B.49 C.50 D.51 【解析】 选B
过点K作垂线段KH交BC于点H,由题意可得CG?BC?BG?2，故?AEK的高为
11BH?BG?GH?7，所以三角形AEK的面积是?AE?BH??(8?6)?7?49。
22
4.要建一座小型水库，若单独投资，甲村缺资金92万元，乙村缺资金88万元。而两村合作投资仍需贷款20万元，则建该水库需要资金（ ）万元.
A.100 B.120 C.140 D.160 【解析】 选D
设建该水库需要资金x万元，则由题意可得：
x?92?x?88?x?20?x?160
故选D.
5.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列.如果数阵中所有数的乘积等于
1512，那么a22?（ ）. A.
18 B.14 C.
12 D.1 【解析】 选C
由题意可得数阵中所有数的乘积为
(a11a12a13)?(a21a22a13)?(a31a32a33)?a33a312a2232?(a3312a32)a22?(a23322)a22
?a922?1512?a122?2故选C.
??a11a12?aa?2122?a31a32a13?a?23? a33??
6.若f(x)是以3为周期的奇函数，g(x)是以2?为周期的偶函数，且g(?)??2，则
sinf((20?1f2?)?(2))6?（ ）. ?cosg(?(3?)g?2?(?))3A.??33 B. 223 D.3 3 C.
【解析】 选C 由题意可得
??11sin(f(2012)?f(?2)?)sin(f(2)?f(?2)?)36?6?22???????113cos(g(3?)?2g(??)?)cos(g(?)?2g(?)?)cos(?2??)cos(?)332236
故选C.
7.如图所示，矩形ABCD的对角线BD过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y?3k?1的图像上，若A点的坐x
标为(?2,?2)，则k?（ ）.
A.2 B.1 C.0 D.-1 【解析】 选B
由题意可知A(?2,?2),C(4,1)，则3k?1?4?k?1，故选B.
8.若n是大于100的正整数，且M?
123n?1???…?,则M所在的区间是（ ）. 2!3!4!n!
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【解析】 选A 由题意可知
n?1n111????， n!n!n!(n?1)!n!所以M?故选A.
123n?11111111???…??????…???1?2!3!4!n!1!2!2!3!(n?1)!n!n!
9.盒中有十张卡片，分别写有数码1,2,3,4,5,6,7，8，9，10.若从中任取3张，则其中恰有一张卡片写的是质数的概率为（ ）. A.
15 B. 212121 D. 1040C.
【解析】 选A
1,2,3,4,5,6,7，8，9，10中的质数为2,3,5,7，则由题意可得恰有一张卡片写的是质数的概率为：
12C4C64?151??，故选A. 310?9?82C106
10.若复数z?i?234?2?3,则z?（ ）. iiiA.6 B.32 C.3 D.34 【解析】 选B 由题意可得z?i?234?2?3?i?2i?3?4i?3i?3iii
故z?32 11.若三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c则表达式
abccosAcosBcosC(??)的值为（ ）.
a2?b2?c2abcA.
12 B. 233 2C.1 D.【解析】 选A
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2,cosB?,cosC?由余弦定理可得cosA?，则：
2bc2ac2ababccosAcosBcosC(??)222a?b?cabcabcb2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2?222(??)a?b?c2abc2abc2abc1222222222?(b?c?a?a?c?b?a?b?c)2222(a?b?c) a2?b2?c2?2(a2?b2?c2)1?2故选A.
12.一次选举有四个候选人甲、乙、丙、丁，若投票的结果是，丁得票比乙多，甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是（ ）. A.甲、丁、丙、乙 B.丁、乙、甲、丙 C.丁、甲、乙、丙 D.甲、丁、乙、丙 【解析】 选D
A选项甲、丙得票之和大于乙、丁得票之和，B选项甲、丙得票之和小于乙、丁得票之和，C选项甲、丙得票之和小于乙、丁得票之和，D选项符合题意.
13.二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C.如果?ACB?60.那么b?4ac的值是（ ）.
A.4 B.8 C.10 D.12 【解析】 选D
由抛物线的对称性可得，?ABC为正三角形，则由题意可得顶点到x轴的距离与底边（两解之间距离）的关系为
224ac?b22b2cb2?4ac?()?4?4aaaa3?b2?4ac?23,b2?4ac?12故选D.
14.一个棱长为4分米的密封的正方体盒子里（壁厚忽略不计）放有一个半径为1分米的球，若盒子随意翻动，则该盒子的内表面接触不到球的那部分面积是（ ）平方分米. A.24 B.60 C.72 D.96 【解析】 选C
对于每一个面上球体能接触到的面积为以2为边长的正方形，故可以接触的面积为4，则可接触的总面积为
4?6?24，不可接触的面积为6?42?24?72
x2y215.椭圆2?2?1(a?0,b?0)如图所示，其中F1是左焦点.若
ab?F1B1A2?90,则该椭圆的离心率
c?（ ）. a
A.
?1?11?1?7 B. 22
C.
?1?5?1?3 D. 22【解析】 选C 由题意可得
2F1A2?F1B12?A2B12?(a?c)2?b2?c2?a2?b2?c2?a2?2(a2?c2)?3a2?c2?c2?ac?a2?0cc?()2??1?0aa?e?c?1?5?a25?1，故选C. 2
由于离心率是正的那么e?
f2(x)?2,f(2)?（ ）. ?816.若f(x)是非负连续函数，且lim，则2x?2x?4A.4 B.2 C.1 D.2 【解析】 选A
f2(x)?2?8可知，当x?2时，x2?4?0，则f2(x)?2?0，由f(x)是非负连续函数可得由lim2x?2x?4f(2)?2，则
f2(x)?2lim2x?2x?4(f(x)?2)(f(x)?2)?limx?2(x?2)(x?2)?lim?(f(x)?2)f(x)?f(2)?x?2(x?2)x?22?2,f(2)4?8?f,(2)?4故选A.
17.在直径为D的大圆内作两两外切的n个小圆.小圆的圆心都在大圆的同一直径上，两端的小圆又分别内切于大圆（如图是n?4的情形）.若第k个小圆的周长为lk，则lim
n????lk?1nk（ ）
A.等于?D B.等于2D C.等于D D.不存在 【解析】 选A
由题意可知第k个小圆的直径Dk为
18.已知f(x?1)?lnlk?，则limn????Dk?1nk?limn?????k?1nlk?D?limn????lk?1nk??D，故选A.
x.若f(g(x))?lnx,则g(x)?（ ）. x?2A.
x?1x?1 B. x?1x?11?x1?x D. 1?x1?xC.
【解析】 选A
由题意可设t?x?1，则x?t?1，f(t)?lnt?1， t?1
由f(g(x))?lnx，可得
f(g(x))?ln?g(x)?1?lnxg(x)?1
g(x)?1?xg(x)?1x?1?g(x)?x?1故选A.
19.若函数y(x)?ex?e??x有正的极值点，则参数?的取值范围是（ ）.
A.(??,?e) B.(?e,0) C.(0,e) D.(e,??) 【解析】 选B
y,(x)?e??e??x?0?e??x?1??1??e?x?1???ln(??)?1
??x?1?ln(??)?x???0可得?
????0??e???0，故选B.
?ln(??)?1?0?t2sinudu?x??1dy?u?（ ）. 20.若函数y?f(x)由参数方程?确定，则
2?dxt??y?tcosudu3??1u?A.
32 B. 32C.2 D.3 【解析】 选A
由题意可得
dy3?dxt??dx3dtt??3dydtt??cost2?(2t)t?sint2?(2t)t,,t??3?cot?3?3，故选A. 321.若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f(x)?f(x)?x,则
,,??f(x)cosxdx?（ ）.
??f,(?)?f,(??)A.f(?)?f(??) B. ?
2C.f(?)?f(??) D.?【解析】 选B
f(?)?f(??)2
????f(x)cosxdx????????f(x)dsinx?f(x)sinx????????sinx?f,(x)dx??????sinx?f,(x)dx???cosx?f(x),,,f,(x)dcosx?????cosx?f,,(x)dx????f(??)?f(?)??cosx(f(x)?x)dx???
?f(??)?f(?)??cosx?f(x)dx??xcosxdx????,,??2????f(x)cosxdx?f,(??)?f,(?)?????f,(??)?f,(?)f(x)cosxdx?2故选B.
22.若f(x)?x2?40?x0030x01362x，则f(0)?（ ）.
,,A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 选C
30x20xf(x)?x036?(?1)?(?x)?436?4x2?60x12x02x?f,(x)?8x?60
?f,,(x)?8?f,,(0)?8故选C.
??0?1?223.设3阶可逆矩阵A满足2A?1B?2B?E（E是单位矩阵）.若B??1??1?22???00二行是（ ）.
A.（-1 -1 0） B.（-1 1 0） C.（1 -1 0） D.（1 1 0） 【解析】 选C
由题意可得AA?12B?A(2B)?A?2B?A(2B?E)?A?2B(2B?E)?1
??1即为?0?10???1?10??1?10???100???00?3?????00?2??? ?????1?10100??1?10100??10001100010????0??????010?110???010?110???00?2001????0011??0011??00?2????00?2??即
???0?10??0A???1?10??10?????110?
??00?3?????00?1?2??
0???0??,则矩阵A?E的第?3?2???
可得第二行为（1,0,0），则矩阵A?E的第二行为（1，-1,0），故选C.
24.设向量?T1?（1 0 1)，?2?（1 a -1)T，?3?（a 1 1)T.如果
??（2 a2 -2)T不能用?1,?2,?3线性表示，那么a?（ ）.
A.-2 B.-1 C.1 D.2 【解析】 选B
设??k1?1?k2?2?k3?3
?k1?k2?ak3?2则有??ak2?k3?a2
??k1?k2?k3??2?11a?则系数矩阵为??0a1?，
??1?11???11a0a1?2?a?a2?(2?a)(a?1)?01?11
?a??1,a?2?11?1??11?12当a??1时??0?11???与增广矩阵???0?111?的秩不同，故无解；
?1?11????1?11?2????当a?2时，?112??021??与增广矩阵?1122?0211?的秩都为2，此时有解；??1?11??????1?111?
??故a??1，选B.
?3?25.设A??40??4?50?.若A的三重特征值?对应两个线性无关的特征向量，则a?（???a2?1??A.1 B.2 C.-1 D.-2
.
）
【解析】 选D
设特征值为?，对应的一个特征向量为?：
40????3?3?E?A???4??50?(??1)?0??
??a??2??1??????1则A????????(A?E)??0 故A?E的秩为3-2=1，即
0???44???440??秩为1，故?a?2,a??2，故选D. ??a?2??1???
1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。
10.贾巧姐：七月七日，牵牛花开，绮罗金线裹绕成，家亡院坍落污地。幸有阴德济困危，得获余生农家栖。一亩薄田，岁月绵长。 11.李纨：寒梅立霜，春来朝气。本自名宦出，农家稻香自甘愿，忠贞侍亲犹清心。竹溪茅舍佳蔬，分畦田列落英，一世宁安。 12.秦可卿：花容柳腰，风情月韵。钗黛兼美太风流，袅娜温软惜早夭。荒唐言尽，辛酸泪流，引情凡世仙客来，红楼梦醒扶春归。 2. 陆雪琪只是微笑，深深凝视着他，这个在梦里萦绕了无数次的男子，许久之后，轻轻地，低低地道：“别管明天了，好吗？” 3. 清风一缕西南荡，风铃响，仙乐扬。碧水霓裳，共与灵犀晃。月映残鬓忆以往，襟又湿，欲断肠。探首出窗望迷茫，青云上，黑竹旁，翠影依依，拂袂试晨霜。笑语欢声起心浪，同心结，不能忘！ 4. 我半生说学，尽在相术，尤精于风水之相。这青云山乃是人间罕有灵地，我青云一门占有此山，日后必定兴盛，尔等决不可放弃。切记，切记！ 5. 风雨萧萧，天地肃杀，苍茫夜雨中，彷彿整个世间，都只剩下了这一处地方，只有他们两人。 6. 生则尚有希望，死则背信怯懦 7. 曾经的一抹绿，我会倾尽全部守护她 . 8. 这样的一生，又会有多少的事，或人，值得你这般不顾一切呢？ 9. 光阴如刀般无情，温暖你心的，是不是只有一双淡淡微笑的眼眸？你忘了么？多年之后，又或者另一个轮回沧桑？你记得的，又是什么？那空白的空虚就像回忆一样，怔怔的看着黑暗、远方。曾经的，我曾经拥抱过么？ 10. 天高云淡，蔚蓝无限，的确令人心旷神怡，可是，却怎比得上，深心处里那一个心爱女子的──一个微笑？
11. 碧瑶： 现在这些事，其实都是我的不是，是我瞒骗了他，所以我受什么责罚，也是应当的，但我绝不能背叛师门。 12. 暮雪千山，我不是一个人。 13. 师父，你别说了，弟子心里都早已想得清楚了。此事乃是天意，师父你自己也想不到的，何况当日最后时刻，虽然田师叔他老人家口不能言，但我心里清楚明白地感觉到他的心意，那一剑，田师叔也是要我出手的。 14. 陆雪琪：‘我当然在乎，若有可能，谁不愿长相厮守，谁不想天长地久？只是明知道难以达成，便不去想了吧！反正将来怎样，谁又知道，我却是终究不肯忘怀的。' 15. 若不是情到深处难自禁，又怎会柔肠百转冷如霜？也许真的拥抱了你。这个世界就从此不一样了吧。 16. 雨丝从夜空里落了下来，在黑暗的夜色中，在张小凡少年的眼里，仿佛带了几分温柔，甚至于他忽然觉得，这夜是美丽的，这雨是缠绵的，就连雨水打在竹叶上的清脆，也是动听的，响在了他灵魂深处。只因为在他身旁，有那样一个美丽女子，抬着头，带着七分青春二分欢喜乃至一分凄凉的美，怔怔出神地看着。这一场雨！ 17. 旧时沧桑过 曾记否伤心人 白发枯灯走天涯 一朝寂寞换宿休 18. 那眼光在瞬间仿佛穿过了光阴，忘却了这周围熊熊燃烧的火焰，看到了当初少年时，曾经的过往。 19. 黑暗深渊里的回忆，仿佛和今日一模一样，像是重新回到了，那曾经天真的岁月。原来，这一个身影，真的是，从来没有改变过吗？那变的人，却又是谁？ 20. 在你绝望的时候，有没有人可以与你相伴？ 即使无路可走，还有人不曾舍弃吗？ 21. 一切，终究是要结束的。 一切，仿佛也将要重新开始…… 日月旋转，穿梭不停，斗转星移，谁又看尽了人世沧桑？ 22. 那时候，我们身陷绝境，垂死挣扎，可是我却一直没有害怕过，当时若是就那样和你一起死了，我——我也心甘情愿！ 23. 原来，千百年的时光，还是抹不去深深的一缕伤怀么…… 24. 我知道你心里在想什么，师姐，你多半是骂我不知人事，不知这世道艰险，我心中所想所求，泰半都难有结果。其实我又何尝不知？若说心苦，我也曾的确为此苦过。只是，我却是想开了，人家说世难容，不可恕，而我终究不能如他一般，破门出家。但即便如此，我也只求心中有那么一个人可以相思，而且我还知道，他心中也有我，只要这般，我也就心满意足了。 25. 一剑斩龙，两界阴阳，三生合欢，四灵血阵，五婴圣骨，六和镜玄八卦幻，七朵痴情伤心瓣。八凶赤炎玄火鉴。 26. 碧瑶：你哪里会笨了？你聪明的紧！难怪我爹老是对我说，你这个人看似木讷，其实内秀的很。 27. 九幽阴灵，诸天神魔，以我血躯，奉为牺牲。三生七世，永堕阎罗， 只为情故，虽死不悔。 28. 从小到大，不知道有多少人讨好我，送了多少奇珍异宝，可是……“她抬起头，凝视著张小凡的眼睛，轻轻道，”就算全天下的珍宝都放在我的眼前，也比不上你为我擦拭竹子的这只袖子。“ 29. 你心中苦楚，天知我知，我不能分担你的痛楚，便与你一道承担。总希望有一日，你能与心中爱人，欢欢喜喜在一起的-------陆雪琪语 30. 我从来都不苦的，师姐。从来师门传道，便是要我们无牵无挂，心境自在，参悟造化，以求长生，不是么？可是，我要长生做什么？ 31. 我不后悔，十年了，我心中还是记挂着你。如果可能，我情愿放弃一切，跟你一起到天涯海角。可是，终究是不可能了！
GCT数学真题及解析（B卷）
