1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
． 设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不
3x2?xy?y222x?xy?y同的实数，则的值是 15（A）3 ； （B）3； （C）2； （D）3． 答（ ）
． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答（ ）
x2?x?1?0． 方程的解是
1?5?1?52（A）2； （B）；
1?5?1?5?1?5?22（C）2或； （D）．
答（ ）
11?1x?(1991n?1991n)2n(x?1?x)，的值是 2． 已知：（n是自然数）．那么
?1?1（Ａ）1991； （Ｂ）?1991；
nn?1（Ｃ）(?1)1991； （Ｄ）(?1)1991．
答（ ）
n1?2?3???99?100?12M，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则． 若Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）
． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?b?c，b?c?d，c?d?a，那么 a?b?c?d的最大值是
（Ａ）?1；（Ｂ）?5；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）
． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S1?1，S2?3，那么，正方形OPQR的边长是
（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）
和
S3?1S1?1
S2?3
S3=1
?． 在锐角ΔABC中，AC?1，AB?c，?A?60，ΔABC的外接圆半径R≤1，则
11（Ａ）2< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2；
答（ ）
（C）c > 2； （D）c = 2． 答（ ） 二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．
2２．已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，2b?3c?a ．
(x?1)m(x?1)p?1?nxxq恒成立，则 3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，
(m2?2n?p)2q? ．
???135?120４．四边形ABCD中，∠ ABC，∠BCD，AB?6，BC?5?3，
CD = 6，则AD = ．
120?
135?
第二试
xx + y， x － y， x y， y
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF
2三、将正方形ABCD分割为 n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
a?b?ab?11.满足的非负整数(a,b)的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.
22x0ax?bx?c?0(a?0)??b?4ac与平方式2.若是一元二次方程的根,则判别式
M?(2ax0?b)2的关系是
(A)?>M (B)?=M (C)?>M; (D)不确定.
24?4x?13x?1?0x?x3.若,则的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为
(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )
5.如图,正比例函数y?x和y?ax(a?0)的图像与反比例函数
k(k?0)x的图像分别相交于A点和C点.若Rt?AOB和积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是 y?
?COD的面
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