22(3x?2x?1)dxdydz； ??? =
????222已知流速函数V?xzi?yxj?zyk,求流体在单位时间
内流过曲面?:x2?y2?z2?2z的流量(流向外侧)和沿曲线L:x2?y2?z2?2z,z?1的环流量(从z轴正向看去逆时针方向) .
第十二章 测 验 题
一、选择题:
1、下列级数中,收敛的是( ).
?11 (A)?； (B)?；
nn?1n?1nn? (C)
?内侧???x2dydz?(z?2y)dxdy =???(2x?1)dxdydz.
?二、计算下列各题:
?x?tcost,?1、求?zds,其中?为曲线?y?tsint,(0?t?t0)；
??z?t,?2、求
?L(exsiny2?)ydx(?coesx2)y?dy,其中L为上 半圆周(x?a)2?y2?a2,y?0,沿逆时针方向 .
三、计算下列各题: 1、求
ds其中?是界于平面z?0及z?H 222??x?y?z?222 (C)
?n?1?13n2； (D)
?(?1)n?1?n.
之间的圆柱面x?y?R； 2、求
222(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy， ???
2、下列级数中,收敛的是( ).
?5n?14n?1 (A) ?()； (B)?()；
n?14n?15??5n?154()； (D)?(?)n?1. 45n?14? 其中?为锥面z?x2?y2(0?z?h)的外侧；
其
中
???xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)2223?为曲
面 (C)
?(?1)n?1n?1z(x?2)2(y?1)21???(z?5169四、证明:
3、下列级数中,收敛的是( )
0的上侧 .
xdx?ydy在整个xoy平面除去y的负半轴及
x2?y2?(n!)23nn! (A)?； (B)?n； 2n?12nn?1n?? (C)
??n?212sin?n； (D)
n?1. ?n(n?2)n?1?原点的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .
五、求均匀曲面z?
4、部分和数列?sn?有界是正项级数?un收敛的
n?1?a?x?y的重心的坐标 .
222????六、求向量A?xi?yj?zk通过区域?:0?x?1,
0?y?1,0?z?1的边界曲面流向外侧的通量 .
七、流体在空间流动,流体的密度?处处相同(??1),
( )
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a为非零常数,则当( )时,级数 (A)r?1； (B)r?1；
?rn?1?an收敛 .
(C)r?a； (D)r?1.
6、幂级数??(?1)n?1(x?1)nn的收敛区间是( ). n?1
(A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].
?7、若幂级
?axnn的收敛半径为R1:0?R1???;
n?0
??bnnx的收敛半径为R2:0?R2???,则幂级数n?0?
?(ann?bn)x的收敛半径至少为( )
n?0 (A)R1?R2； (B)R1?R2；
(C)max?R1,R2?； (D)min?R1,R2? .
?8、当R?0时,级数?(?1)nk?n是( n?1n2) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k值无关. ?9、limn??un?0是级数
?un收敛的( )
n?1 (A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .
?10、幂级数
?n(n?1)xn的收敛区间是( )
n?1 (A) (?1,1]； (B) (?1,1]； (C) (?1,1]； (D) [?1,1]. 二、判别下列级数的收敛性:
2n??2ncos 1、?(n!)?3n?12n2； 2、?n?12n.
?三、判别级数
?(?1)nlnn?1n?1n的敛散性 . 1111四、求极限 lim[239nn???4?827???(2n)3] .
五、求下列幂级数的收敛区间:
??3n?5n?1、xn； 2、1?n2nn?nnx.
n?12?六、求幂级数?xn的和函数 . n?1n(n?1)
?七、求数项级数?n2的和 .
n?1n!八、试将函数
1(2?x)2展开成x的幂级数. 九、设f(x)是周期为2?的函数,它在[??,?]上的表达式为f(x)???0,x?[??,0)?ex,x?[0,?)将f(x)展开成傅立叶级数 .
十、将函数f(x)???1,0?x?h0,h?x??分别展开成正弦级数
?和余弦级数 .
十一、证明:如果f(x??)??f(x),f(x)以2?为周期, 则f(x)的傅立叶系数 a0?0,a2k?0,b2k?0(k?1,2,?).
第八章 测 验 题 答 案
一、1、D； 2、C； 3、C； 4、A； 5、B； 6、B； 7、C； 8、A； 9、D； 10、D. 二、-103. 三、2. 四、310.
?y2z2六、???1?3?3. ?x?0?x?3??七、?t?y??1?2t,
?x?3?t?x?0??y?0, ?y??1?2t, ?z?0??z?5?8t??z?5?8t ??14x?11y?z?26?0?x?y?3z?8?0. 八、x?8y?13z?9?0.
?x??1?12t九、??y??4?46t.
??z?3?t十、x?y?2z?4?0.
十一、??2x?y?z?1?0?x?y?z?1?0.
十二、直线L,d?31与L2为异面直线3.
第九章 测 验 题 答 案
一、1、A； 2、B； 3、B； 4、B； 5、D； 6、C； 7、A； 8、A； 9、D； 10、B. 二、(1)当x?y?0时,在点(x,y)函数连续； (2)当x?y?0时,而(x,y)不是原点时,
则(x,y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
三、1、z1,zlnxx?(lny)xlny?y?yxlny； 2、ux?f1?yf2?(yz?xyzx)f3,
uy?xf2?(xz?xyzy)f3.
? 3、f??2xy3?(x2?y2)2,x2?y2?0x(x,y), ??0,x2?y2?0?x2(x2?y2) fy)???(x2?y2)2,x2?y2?0y(x,.
??o,x2?y2?0四、(ff21?y??(z)?1)dx?f2?(z)y??(z)?1dy.
五、xe2yfuu???eyfuy???xeyfxu???fxy???eyfu?. 六、
?z?x?(vcosv?usinv)e?u,?z?y?(ucosv?vsinv)e?u.七、?f?l?cos??sin?, (1)???4(2)??5?4(3)??3?7?4及4
八、(45,35,3512).
九、切点(ab33,3,c3),Vmin?2abc.
第十章 测 验 题 答 案
1、D； 2、C； 3、A； 4、A； 5、B； 6、A； 7、A； 8、B,D； 9、B； 10、C.
二、1、?2?4032
9；2、
64
?； 3、?4R4?9?R2；4、52?.
三、1、
?23?x0dx?xf(x,y)dy；
22、
?1dy?y2x,y)dx??22y?y200f(1dy?0f(x,y)dx；
3、
?aa0rdr?rf(rcos?,rsin?)d?.
四、
?11z0dz?zdy?0f(x,y,z)dx.
五、1、?216?12502； 2、3?； 3、0. 六、1a2b2?b2c2?c2a22. 七、提示：
F(x)??x
0f(t)dt,则F?(x)?f(x)且F(t)??1
0f(x)dx,F(0)?0
第十一章 测 验 题 答 案
一、1、B； 2、C； 3、C； 4、C； 5、B； 6、C； 7、B； 8、C； 9、C； 10、B.
3(2?t2二、1、
0)2?223； 2、?a2.
三、1、2?arctgHR； 2、??44h； 3、0.
四、u(x,y)?122ln(x?y2).
五、(0,0,a2). 六、3.
七、3215?,0.
第十二章 测 验 题 答 案
一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、C； 7、D； 8、A； 9、B； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛. 12n四、48. (提示:化成23?32???3n??)
五、1、[?1,155)； 2、(?2,2).
?六、s(x)???1?(1?1)ln(1?x),x?(?1,0)?(0,1)?x. ?0,x?0七、2e.
八、1?(2?x)2??n?1xn?1,x?(?2,2)
n?12n九、f(x)?e??11?(?1)ne??12????[cosnxn?11?n2 ?n((?1)n?1e??1)n2?1sinnx], (???x???且x?n?,n?0,?1,?2,?). 十、f(x)?2?1?cosnh??sinnx,x?(0,h)?(h,?)n?1n f(x)?h?2?sinnh???cosnx,x?[0,h)?(h,?)
n?1n
同济版高等数学下册练习题（附答案）
