第八章 测 验 题
一、选择题：
????(C)(2,3,4)； (D)(2,?1,?4).
1、若a，b为共线的单位向量，则它们的数量积 a?b? 9、已知球面经过(0,?3,1)且与xoy面交成圆周 ( ).
(A) 1； (B)-1； ?? (C) 0； (D)cos(a,b).
????向量a?b与二向量a及b的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .
?3、设向量Q与三轴正向夹角依次为?,?,?，当 cos??0时，有(
)
(A)Q?xoy面；(B)Q?yoz面;(C)Q?xoz面;(D)Q??xoz面 ??5、(???)2?( )
?2?2?2???2(A)???； (B)??2????； ?2???2?2???2(C)??????； (D)?????2?.
6、设平面方程为Bx?Cz?D?0，且B,C,D?0平面(
).
(A) 平行于x轴；；(B) 平行于y轴； (C) 经过y轴；(D) 经过y轴.
7、设直线方程为??A1x?B1y?C1z?D1?0?B2y?D且
2?0 A1,B1,C1,D1,B2,D2?0,则直线( ). (A) 过原点； (B)平行于x轴； (C)平行于y轴； (D)平行于x轴. 8、曲面z2?xy?yz?5x?0与直线xy?5?1?3 ?z?107的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,?1,?4)；(B)(1,2,3)；
??x2?y2?16z?0，则此球面的方程是( ). ? (A)x2?y2?z2?6z?16?0； (B)x2?y2?z2?16z?0； (C)x2?y2?z2?6z?16?0； (D)x2?y2?z2?6z?16?0.
10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)x2?y2?z2?1； (B)x2?y2?4z；
(C)x2?y2x24?z?1； (D)?y2z229?16??1. 二、已知向量a?,b?的夹角等于???3，且a?2,b?5，求
(?a?2?b)?(?a?3?b) .
， 则
?三、求向量a?{4,?3,4}在向量b??{2,2,1}上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量
?a?{1,?3,1};b??{2,?1,3}b??2,?1,3?，求其面积 .
??五、已知a,b,为两非零不共线向量，求证：
(a??b?)?(a??b?)?2(a??b?).
六、一动点与点M(1,0,0)的距离是它到平面x?4的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线方程 .
?x?3?t七、求直线L：??y??1?2t在三个坐标面上及平面
??z?5?8t?x?y?3z?8?0上的投影方程 .
八、求通过直线
x?12?y?2z?2?3?2且垂直于平面3x?2y?z?5?0的平面方程 .
九、求点(?1,?4,3)并与下面两直线
(C) y(x? 3、lim(x?y)x?0y?02212y)； (D) (1?y)2. xx2x2y2?x?2?4t?2x?4y?z?1?，L2:?y??1?t都垂直的直线L1：??x?3y??5?z??3?2t?方程 .
十、求通过三平面：2x?y?z?2?0，
?( ).
(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .
4、函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续,且两个偏导数 fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点可微的( ). (A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；
(D)既不是充分条件,也不是必要条件.
x?3y?z?1?0和x?y?z?3?0的交点，且平行于
平面x?y?2z?0的平面方程 .
十一、在平面x?y?z?1?0内，求作一直线，使它通
1?2222(x?y)sin,x?y?0?22x?y 5、设f(x,y)??
?0,x2?y2?0?y?z?1?0?过直线?与平面的交点，且与已知直线垂
?x?2z?0 则在原点(0,0)处f(x,y)( ).
直 .
十二、判断下列两直线 L1:x?1yz?1??, 112 (A)偏导数不存在； (B)不可微；
(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .
6、设z?f(x,v),v?v(x,y)其中f,v具有二阶连续偏导
xy?1z?2L2:??,是否在同一平面上，在同 一平面
134上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .
第九章 测 验 题
一、选择题:
?2z数.则2?( ).
?y?2f?v?f?2v?f?2v (A)???2； (B)?2；
?v?y?y?v?y?v?y?2f?v2?f?2v?2f?v?f?2v (C)2()??2； (D)2???2.
?v?y?v?y?v?y?v?y41 7、曲面xyz?a3(a?0)的切平面与三个坐标面所围
1、二元函数z?ln2的定义域?arcsin2x?y2x?y2 成的四面体的体积V=( ). (A)
2222是( ).
(A)1?x?y?4； (B)1?x?y?4；
32336a； (D) . a3； (B) 3a3； (C) 9a2 8、二元函数z?3(x?y)?x?y的极值点是( ).
(C)1?x?y?4； (D)1?x?y?4. 2、设f(xy,)?(x?y),则f(x,y)?( ).
222233 (A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9、函数u?sinxsinysinz满足 x?y?z?xy2?2(x?0,y?0,z?0)的条件极值是( ).
1612x2 (A)x(y?)； (B) (1?y)；
yy2 (A) 1 ； (B) 0 ； (C) ； (D)
18 .
10、设函数u?u(x,y),v?v(x,y)在点(x,y)的某邻 域内可微分,则 在点(x,y)处有 grad(uv)?( ).
x2y2z2九、在第一卦限内作椭球面2?2?2?1的切平面, 使
abc该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最
小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .
第十章 测 验 题
一、选择题: 1、
(A)(B)
gradu?gradv;u?gradv?v?gradu;u?gradv;v?gradu.
(C)(D)二、讨论函数z?x?y的连续性，并指出间断点类型. 1?x111?x33x?y (A)?dy?f(x,y)dx； (B)?dy?f(x,y)dx；
0000?10dx?1?x0f(x,y)dy=( )
三、求下列函数的一阶偏导数: 1、z?xlny (C)
；
?dy?0110f(x,y)dx； (D)?dy?011?y0f(x,y)dx.
2、设D为x2?y2?a2,当a?( )时,
2、u?f(x,xy,xyz),z??(x,y)；
?x2y? 3、f(x,y)??x2?y2?0?
??Da2?x2?y2dxdy??.
x?y?0x2?y2?022 .
(A) 1 ； (B)
33 ； 23四、设u?f(x,z),而z(x,y)是由方程z?x?y?(z)所 确的函数,求du .
(C)
33； (D) 41 . 2五、设z?(u,x,y),u?xey,其中f具有连续的二阶偏导 3、当D是( )围成的区域时二重积分
??Ddxdy?1. 11,y?; 23?2z数,求.
?x?y六、设x?eucosv,y?eusinv,z?uv,试求
(A)x轴,y轴及2x?y?2?0;(B)x?(C)x轴,y轴及x?4,y?3;(D)x?y?1,x?y?1;
?z?z和 .
4、?x?y??Dxexydxdy的值为( ).其中区域D为
七、设x轴正向到方向l的转角为?,求函数0?x?1,?1?y?0.
11; (B) e ; (C) ?; (D) 1. ee22222D,其中由所 x?y?a(x?y)dxdy??f(x,y)?x2?xy?y2在点(1,1)沿方向l的方向导数,并(A)
分别确定转角?,使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)5、设I?等于零 . 八、求平面
D 围成,则I=( ).
2?axyz???1和柱面x2?y2?1的交线上与 (A)?d??a2rdr??a4;
003452?axoy平面距离最短的点 . 142(B)?d??r?rdr??a;
002
2?(C)(D)
?02d??r2dr??a3;
03a (A) 3?； (B) 5?； (C) 4?； (D) 6?. 二、计算下列二重积分: 1、
?2?0d??a2?adr?2?a4.
0a 6、设?是由三个坐标面与平面x?2y?z=1所围成的 空间区域,则
???xdxdydz=( ).
???(xD2?y2)d?,其中D是闭区域:
1111(A) ； (B) ? ； (C) ； (D) ? .
48242448 0?y?sinx,0?x??. 2、
z2x2y2 7、设?是锥面2?2?2(a?0,b?0,c?0)与平
cab面 x?0,y?0,z?c所围成的空间区域在第一卦限的
??arctgDyd?,其中D是由直线y?0及圆周 x x2?y2?4,x2?y2?1,y?x所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、
2(y???3x?6y?9)d?,其中D是闭区 D部分,则
????xyzdxdydz=( ).
122abb； 361cab. 36122abc； (B) 36122bca； (D) (C) 36 (A) 8、计算I?? 域:x2?y2?R2 4、
??xD02?y2?2d?,其中D:x2?y2?3.
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:
01022212y33?y,其围成的 中?为z?x?y,z?1zdv 1、?dy?f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx； ???立体,则正确的解法为( )和( ). (A)I?(B)I???2?02?d??rdr?zdz；
0011 2、 3、
?dx?011?1?x2xf(x,y)dy；
0d??rdr?zdz；
0r11?a0d??f(rcos?,rsin?)rdr.
0? (C)I? (D)I??2?01d??dz?rdr；
0r2?z0011四、将三次积分 x?y?z.
?dx?dy?0x11yxf(x,y,z)dz改换积分次序为
?0dz?d??zrdr.
x2?y2包含在圆柱x2?y2?2x内部的
五、计算下列三重积分: 1、
???ycos(x?z)dxdydz,?:抛物柱面y??x
9、曲面z?那
部分面积s?( ).
及平面y?o,z?o,x?z? 2、
?2所围成的区域 .
22(y?z)dv,其中?是由xoy平面上曲线 ????3?； (B) 2?；
2 y?2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x?5所围
5?； (D) 22?.
成的闭区域 .
10、由直线x?y?2,x?2,y?2所围成的质量分布均匀
(设面密度为?)的平面薄板,关于x轴的转动惯量 Ix=( ).
zln(x2?y2?z2?1) 3、???dv,其中?是由球面 222x?y?z?1? x?y?z?1所围成的闭区域 .
222
xyz???1被三坐标面所割出的有限部分 6、若?为z?2?(x2?y2)在xoy面上方部分的曲面 , abc 的面积 . 则??ds等于( ).
六、求平面
七、设f(x)在[0,1]上连续,试证:
第十一章 测 验 题
一、选择题:
设L为x?x0,0?y?????0x11yx11f(x)f(y)f(z)dxdydz?[?f(x)dx]3 .
60 (A) (C)
?2?0d??r01?4r?rdr;(B)
22?2?0d??201?4r2?rdr;
?2?0d??01?4r2?rdr.
7、若?为球面x2?y2?z2?R2的外侧,则
??x?2y2zdxdy等于( ).
3,则4ds的值为( ). 2?L (A)
Dxy22222xyR?x?ydxdy; ?? (A)4x0， (B)6, (C)6x0.
设L为直线y?y0上从点A(0,y0)到点B(3,y0)的有向直线段,则
(B) 2
Dxy22222xyR?x?ydxdy; (C) 0 . ??8、曲面积分
22z??dxdy在数值上等于( ). ??L2dy=( ).
?向量zi穿过曲面?的流量；
面密度为z的曲面?的质量；
2 (A)6; (B) 6y0; (C)0. 若L是上半椭圆?
?x?acost,取顺时针方向,则
?y?bsint,?向量zk穿过曲面?的流量 .
2?Lydx?xdy的值为( ).
9、设?是球面x2?y2?z2?R2的外侧,Dxy是xoy面 上的圆域x2?y2?R2,下述等式正确的是( ). (A)
(A)0; (B)
?ab; (C)?ab. 24、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续 偏导数,则在D内与
??x??2y2zds???x2y2R2?x2?y2dxdy；
Dxy?LPdx?Qdy路径无关的条件
(B)
?Q?P?,(x,y)?D是( ). ?x?y??(x2?y2)dxdy?Dxy??(x2?y2)dxdy；
(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.
5、设?为球面x?y?z?1,?1为其上半球面,则 ( )式正确. (A) (B) (C)
222 (C)
??zdxdy?2???DxyR2?x2?y2dxdy.
10、若?是空间区域?的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ).
??zds?2??zds;
??1 (A)
??zdxdy?2??zdxdy;
??1?外侧???xdydz?(z?2y)dxdy =???(2x?2)dxdydz；
?2??zdxdy?2??zdxdy.
??122 (B)
?外侧???(x3?yz)dydz?2x2ydzdx?zdxdy
同济版高等数学下册练习题（附答案）
