高考数学专题突破三 高考数学中的数列问题 第2课时 数列的综合问题

第2课时 数列的综合问题

题型一 数列与函数

n＋1

例1 (2019·四川三台中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－219成等差数列． (1)求a1的值；

(2)证明?n＋1?为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

?2?

?an?

＋1，n∈N，且a1，a2＋5，

*

(3)设bn＝log3(an＋2)，若对任意的n∈N，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围． 解 (1)在2Sn＝an＋1－2

n＋1

n*

＋1，n∈N中，

*

令n＝1，得2S1＝a2－2＋1，即a2＝2a1＋3，① 又2(a2＋5)＝a1＋19，② 则由①②解得a1＝1.

??2Sn＝an＋1－2＋1， ③

(2)当n≥2时，由?n?2Sn－1＝an－2＋1， ④?

n＋1

2

③－④得2an＝an＋1－an－2， 则

nan＋1

2

n＋1

3?an?

＋1＝?n＋1?，

2?2?

a23?a1?

又a2＝5，则2＋1＝?1＋1?.

22?2?

?an?33

∴数列?n＋1?是以为首项，为公比的等比数列，

22?2?

an3?3?n－1nn∴n＋1＝×??，即an＝3－2. 22?2?

(3)由(2)可知，bn＝log3(an＋2)＝n. 当bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立时， 即(1－λ)n＋(1－2λ)n－6<0(n∈N)恒成立．

2

*

n

设f(n)＝(1－λ)n＋(1－2λ)n－6(n∈N)，

当λ＝1时，f(n)＝－n－6<0恒成立，则λ＝1满足条件； 当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立； 当λ>1时，由于对称轴n＝－

1－2λ<0，

21－λ2*

则f(n)在[1，＋∞)上单调递减，

f(n)≤f(1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞)． 思维升华 数列与函数的交汇问题

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法． 跟踪训练1 (2018·辽南协作校模拟)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a2n＋1

.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围． 解 (1)由a1＝1，

2

an＋11

＝，an≠0， an2

1

∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，

2

?1?n－1

∴an＝??.

?2?

?1?2n∴bn＝2－log2??＝2n＋2.

?2?

(2)由(1)得，Tn＝n＋3n，

∴m≥－2n＋6n对任意正整数n都成立． 设f(n)＝－2n＋6n，

2

2

2

?3?292

∵f(n)＝－2n＋6n＝－2?n－?＋，

?2?2

∴当n＝1或2时，f(n)的最大值为4，

∴m≥4.

即m的取值范围是[4，＋∞)． 题型二 数列与不等式

2

12Sn例2 已知数列{an}中，a1＝，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2)．

22Sn－1

?1?

(1)求证：数列??是等差数列；

?Sn?

111

(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<1.

23n2Sn证明 (1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，整理得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1(n≥2)，

2Sn－1

?1?

∴－＝2，从而??构成以2为首项，2为公差的等差数列． SnSn－1?Sn?

2

11

111(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝. SnS12n11

∴当n＝1时，Sn＝<1，

n2111

方法一 当n≥2时，Sn＝2<·

n2n2n11?1

－?＝??， 2?n－1n?

11?11111?1111

1－＋－＋…＋－∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn <＋?＝1－<1. ?223n－1n?23n22?2n∴原不等式得证． 方法二 当n≥2时，

1?111?1

－＝??， 2<2

2n2n－14?n－1n＋1?111∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn

23n1111?11111

－＋<＋?1－＋－＋－＋…＋n－2n24?32435

1

n－1

11?－ n－1n＋1??

1?11?11＝＋?1＋－－?， 24?2nn＋1?11?1?7<＋?1＋?＝<1. 24?2?8∴原命题得证．

思维升华 数列与不等式的交汇问题

(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．

跟踪训练2 (2018·天津部分区质检)已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，

b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝

11

，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<. bnbn＋2531

(1)解 设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d， 由题意得1＋d＝1＋q，q＝2(1＋2d)－6， 解得d＝q＝2， 所以an＝2

n－1

2

，bn＝2n－1.

1＝1

2n－1

2n＋3

(2)证明 因为cn＝

bnbn＋2

1?1?1－＝??，

4?2n－12n＋3?

1??1??11?所以Tn＝??1－?＋?－?＋…＋

4??5??37?

?1－1?＋?1－1?? ?2n－32n＋1??2n－12n＋3???????

11?1?1

－＝?1＋－

32n＋12n＋3?4??

1?11?1

＋＝－??，

34?2n＋12n＋3?

1?1?11＋因为?>0，所以Tn<. ?4?2n＋12n＋3?3又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增， 1

所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝，

511所以≤Tn<. 53

题型三 数列与数学文化

例3 (2018·东北师大附中模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”( )

A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤 答案 D

解析 原问题等价于等差数列中， 已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值． 由等差数列的性质可知a2＋a4＝a1＋a5＝6，

a1＋a5

a3＝＝3，

2

则a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重9斤．

思维升华 我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．

跟踪训练3 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量12*

古人研究数列的记载．现有数列题目如下：数列{an}的前n项和Sn＝n，n∈N，等比数列{bn}满足b1

4＝a1＋a2，b2＝a3＋a4，则b3等于( ) A．4 B．5 C．9 D．16