圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
【高考要求】
1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；
3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。
【热点透析】
与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。
【题型分析】
x2y21. 已知双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，
ab准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2离心率为（ ）
?F1F2，则双曲线C1的
A．2
B．3
C．23 3
D．22 a2解：由已知可得抛物线的准线为直线x??c4a2，∴ 方程为y?x；
c2b2b224a2b2222由双曲线可知P(c,∴ ()?∴ b?2a?2?2，∴ e?1?2，e?3． )，?c，
aacax2y22．椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F、F2，以F1、F2为边作正三角形，若椭圆
ab恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为 （ B ）
A．3?13?2 B．3?1 C．4(2?3) D． 24解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，
由平面几何知识可得|PF2所以由椭圆的定义及e|:|PF1|:|F1F2|?1:3:2，
?c得： ae?|F1F2|2c2???3?1，故选B． 2a|PF1|?|PF2|3?1 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e?3?1．
3. （09
x2y2浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲
ab1BC，则双曲线的离心率是 ( ) 23 C．5 D．10 AB?x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，
线的两条渐近线的交点分别为B,C．若
A．2 B．A?a,0?【解析】对于，则直线方程为
?a2ab?a2ab2a2b2a2bab??abB?,,C(,?)BC?(,?),AB??,，???， 2222a?ba?ba?ba?ba?ba?ba?ba?b????因此2AB?BC,?4a2?b2,?e?5．★答案★：C
4. （09
x2y2江西理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦
ab点，若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为（ ） A．
22 B．
33 C．
1 2D．
1 3b2【解析】因为P(?c,?)，再由?F1PF2?60a5.（08
3b2c3有，故选B ?2a,从而可得e??aa3x2y2陕西理）双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角
ab为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．6
B．3 C．2
D．3 33：2,则双曲线的离心率是
6.（08（D）
x2y2浙江理）若双曲线2?2?1的两个焦点到一条准线的距离之比为
ab （A）3 （B）5 （C）7.（08全国一理）在△ABC中，则该椭圆的离心率e
3 （D）5
7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，18AB?BC，cosB??3 8? ．
8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线
垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
（A）2 （B）3 （C）3?15?1 （D） 22x2y2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2?2?1(a?0,b?0)，
abbbbb?，??(?)??1，则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：，直线FB的斜率为：
acac?b2?ac c2?a2?ac?0，解得e?c5?1. ?a29.（10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)
