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小结 化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.
确定积分限采用穿线法，若先对y后对x积分，则将积分区域投影在x轴上，可得x的变化范围.再过固定的x点作一平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，则可得到y的变化范围.从而可将积分域D用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.
小结 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先r后?，定限时仍采用“穿线法”。为确定?的变化范围，从极点出发作射线穿过区域D，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分域D开始接触时的?角即为?的下限，离去时的?角即为上限；又由于极径r?0，穿入时碰到的D的边界曲线r1???为下限，穿出时离开的D的边界曲线r2???为上限.
小结 计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域D的形状和被积函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表18—1表示. 表18—1 积分区域的形状 D为矩形、三角被界函数的形状 应选坐标系 直角坐标系 形、或其他形状 D为圆域、圆环f?x,y? 域、扇形域或环扇形域 ?y?fx2?y2或f?? ?x???极坐标系 小结 利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的知乎教育-打造培训界最走心的学校
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对称性两个方面，否则就会导致错误.
小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加.
5．计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？
“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：
如果域?界于平面z?c1和z?c2?c1?c2?之间，用任一平行于xOy面的平面
z?z去截域
c2c1?
(c1?z?c2)得平面区域
D?z?，则有
????f?x,y,z?dV??dz??f?x,y,z?d?.当被积函数f?x,y,z?仅是z的函数，而截得
D?z?的区域D?z?的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法.
小结 用不等式组表示空间区域?的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域?向xOy面投影得到的投影区域是Dxy，过Dxy中任一点由下向上作平行于z轴的直线穿过空间区域?时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面z?f1?x,y?和穿出时离开的曲面z?f2?x,y?，于是变量z的变化范围是f1?x,y??z?f2?x,y?，?x,y??Dxy，然后再根据区域?在xOy面上的投影区域Dxy确定变量y与x的变化范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域?向yOz面或zOx面投影，分析方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。
小结 三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分），从而也化为计算三个定积分的问题，因此，知乎教育-打造培训界最走心的学校
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其计算步骤与二重积分相似：
（１）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐标系极适当的积分次序；
（２）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；
（３）确定积分限，化为三次积分； （４）计算积分．
可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限．
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知乎教育-2017浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧
