(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( )

(A)P(BA)?0 (B)P(AB)?P(A) (C)P(AB)?0 (D)P(AB)?P(A)P(B) (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ）

(A)332(B)382(C)1161(D)

82(3)X~N(?,4),Y~N(?,5),p1?P{X???4},p2?P{Y???5}，则( ) (A)对任意实数?,p1?p2 （B）对任意实数?,p1?p2 (C)只对?的个别值，才有p1?p2 （D）对任意实数?，都有p1?p2

(4)设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(?x)?f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意 实数a成立的是( ) （A）F(?a)?1??a0f(x)dx （B）F(?a)?1a??f(x)dx 20（C）F(?a)?F(a) （D）F(?a)?2F(a)?1

150Xi, 则 (5)已知X1,X2,L,X50 为来自总体X:N?2,4?的样本，记X??50i?1150(Xi?X)2服从分布为( ) ?4i?1（A）N(2,42) (B) N(,4) （C）?2?50? (D) ?2?49? 5050二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)

(1) P(A)?0.4,P(B)?0.3,P(A?B)?0.4,则P(AB)?___________

?4x3,0?x?1(2) 设随机变量X有密度f(x)??, 则使P(X?a)?P(X?a)

0其它?的常数a=

(3) 设随机变量X~N(2,?)，若P{0?X?4}?0.3,则P{X?0}? (4)设f?x??

(5)设总体X~N(?,9)，已知样本容量为25，样本均值x?m；记

21?e?x2?2x?1， 则EX = , DX = u0.1?a，u0.05?b；t0.1?24??c，t0.1?25??d；t0.05?24??l，t0.05?25??k，

则?的置信度为0.9的置信区间为

三、解答题 （共60分）

1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率

(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？

2、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

?e?y,y?0;?1,0?x?1; fX(x)?? fY(y)??

其它.y?0.?0,?0,求:随机变量Z?X?Y的概率密度函数.

3、(10分)设随机变量X服从参数??2的指数分布，证明：Y?1?e?2X服从?0,1?上的

均匀分布。

4、(8分)设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得

X?66.5,样本标准差为15，问在??0.05时，是否可以认为这次考试全体考生的平均成

绩为70分?

5、(10分)在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品。设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？（??1.29??0.9）

6、(12分)设(X, Y) 服从二维正态分布，X~N(1 , 9)，Y~N(0 , 16)，?XY??1，设2Z?XY?，求(1)EZ , DZ (2)?XZ32

(3)X与Z是否相关？

标准答案

一、选 择 题（5×4分） 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D

二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、

142 3、 0.35 4、EX?1,DX?1 2

5、(m?3333b,m?b)或(m?u0.05,m?u0.05) 5555三、 解答题（60分）

1、解：A=“生产的产品是次品”，B1=“产品是甲厂生产的”，B2=“产品是乙厂生产的”，B3=“产品是丙厂生产的”，易见B1,B2,B3是?的一个划分 (1) 由全概率公式，得

P(A)??P(AB)??P(B)P(AB)?25%?5%?35%?4%?40%?2%?0.0345.

iiii?1i?133(2) 由Bayes公式有：P(B1A)?P(AB1)P(B1)P(A)???25%?5% ?0.0345692、因为X与Y相互独立，所以fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx

当z?0时，fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx?0;

??当0?z?1时，fZ(z)?当z?1时，fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??e?(z?x)dx?1?e?z;

0z?????fX(x)fY(z?x)dx??e?(z?x)dx?e?z(e?1);

01所以 fZ(z)??????0z?0??fX(x)fY(z?x)dx??1?e?z0?z?1;

?e?z(e?1)z?1?3、FY(y)?P?Y?y??P1?e??2Xln(1?y)???y??P?X???

2???0,y?0,??ln(1?y)?y?，1)?1,(0????22e?2xdx?y(0?y?1), ?fY(y)?FY?(y?)?

???0,其他。?1,y?1.??4、H0: ? = ? 0 =70 ①由于? 2未知，则令t?X??0Sn~t(n?1)

????②由P?|t|?t??n?1????,查表得t的临界值t??n?1?=t0.025?35?=2.0301,

???2?2则拒绝域为Ic?tt?2.0301，由条件计算出t0???X??0Sn?66.5?701536??1.4，

由于t0?1.4?2.0301,所以接受t0，即可以认为考生平均成绩为70分。 5、设应抽查n件产品，其中次品数为Y，则Y～B(n，0.1),

其中EY?np?0.1n,DY?np(1?p)?0.09n，由二项分布的中心极限定理，得

10?0.1n?10?0.1nY?0.1nn?0.1n?) P{10?Y?n}?P??????(3n)??(0.3n0.09n0.09n??0.09n?1??(10?0.1n0.3n)，要使1??(10?0.1n0.3n)?0.9，即?(0.1n?100.3n)?0.9，查表得

0.1n?10?1.29，解得n?147，即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率

0.3n达到0.9。 6、(1)EZ?E(XY11111?)?EX?EY??1??0? 3232323DZ?D(XYXYXY11XY?)?D()?D()?2cov(,)??9??16?2cov(,) 3232329432XY,)， 32?5?2cov(而cov(XY1111,)?cov?X,Y???XY?DX?DY??(?)?3?4??1 326662?DZ?5?2?(?1)?3

(2)?XZ?cov?X,Z?DXDZ，而cov,?XZ??cov(,XXY11?)?cov(X,X)?cov(X,Y) 3232?111DX??(?6)??9?3?0，??XZ?0 323(3)Q?XZ?0，所以X与Z不相关。