实用标准
第一章 光的电磁理论
1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=(102)??os[??×1014(?????
)+??
??
2
]，
（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。
解：由Ex=0，Ey=0，Ez=(102)??os[??×1014(???????
)+??
]，则频率υ??2=
2??
=
??×10142??
=0.5×1014Hz， 周
期T=1/υ=2×10-14s， 初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，
波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。
1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=2Cos[2??×1014(??
?t)+??
??
2
]，Ez=0，求：（1）
该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？
解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=??14
2??
=
2??×102??
=
1014Hz，波长λ=
??υ
=
3×108?61014=3×10??，原点的
初相位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向
沿y轴；（3）由B=1
??
(?????? ??×??? )，可得By=Bz=0，
Bx=2??os[2??×1014(???t)+??
??
??
2
]
1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=102??os[??
×
1015(
??
0.65c
?t)]，
试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。 解：（1）υ=??
??×10152??=
2??
=5×1014Hz；
（2）λ=
2??2??
2×0.65×3×108
??
=
??×1015/0.65c
=
1015
m=
3.9×10?7??=390nm；
（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=??
????=
0.65c
≈1.54
1.4写出：（1）在yoz平面沿与y轴成θ角的???
方 文档大全
向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。
解：（1）由???=?? exp(i??? ??? )，可得???=??
exp?[ik(??cosθ+zsinθ)]； （2）同理：发散球面波??
?(??，t)=????exp?(ikr)=??1??exp?
(ikr)， 汇聚球面波??
?(??，t)=????exp?(?ikr)=??1??
exp?
(?ikr)。 1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为4×1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45o，试写出E，B表达式。
解：??? =?????????? ??+????????? ??，其中 ????=10exp[??(2????
???2πυt)]
=10exp[??(
2??????
???2πυt)]
=10exp[??(
2??×4×1014
3×108???2π×4×1014??)]
=10exp[??(83
×106??)(???3×108??)]，
同理：????=10exp[??(8
3×106??)(???3×108??)]。
??? =1??
(?????? 0×??? )=??????????? ??+?????????
??，其中 ????=108
3×108exp[??(3
×106??)(???3×108??)]=????。
1.6一个沿k方向传播的平面波表示为
E=100exp{??[(2??+3y+4z)?16×105??]}，试求k方向的单位矢????。
解：|??
? |=√22+32+42=√29， 又??? =2????? ??+3?????? ??+4????? ??， ∴?????? 0=1√29(2????? ??+3?????? ??+4????? )??。
1.9证明当入射角??1=45o时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有????=????2。
证明：????=sin(??1???2)
sin45ocos??2?cos45osin??2sin(??1+??2)
=
sin45ocos??2+cos45osin??
2
=
cos??2?sin??2cos??2+sin??2
=
1?tan??21+tan??
2
??(????=
tan1???2)
tan(?? 1+??2) 实用标准
=
(tan45o?tan??2)/(1+tan45otan??2)??22(tan45o+tan??2)/(1?tan45otan??=(
1?tan2)
1+tan????2
)=??2
1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。 证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90o，
设空气和玻璃的折射率分别为??1和??2，先由空气入射到玻璃中则有??1sin??=??2sin??，再由玻璃出射到空气中，有??2sin??′=??1sin??′， 又??′=??，∴??1sin??′=??1sin?????′=??， 即得证。
1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃(??=1.5)上，求：（1）能流反射率????和????；（2）能流透射率????和????。 解：由题意，得??=
??2??1
=1.5，
又??为布儒斯特角，则??+??=90°.....① ??1????????=??2??????????????????=??????????..... ② 由①、②得，??=56.31°，??=33.69°。 （1）????=??????2(????)??????2(??+?)
=0，
????=
?????2(????)?????2(??+?)
=0.148=14.8%，
（2）由????+????=1，可得????=1，
同理，????=85.2%。
1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的分界面上时，????=1???，其中??=??2∕??1。 证明：????=
2sin??2cos??1
sin(??)cos(??，因为??1+??21???2)
1为布儒斯特
角，所以??2+??1=90°， ??2sin????=2cos??12sin??2cossin90°cos(??=??1
90°???
1???2)cos(2???2)=
2sin??2cos??1
=
2sin??2cos??1??2sin(2??2sin??，又根据折射定律2)
2cos??2
=
sinsin??1
??1sin??1=??2sin??2，得
sin??2??1sin??1
=
??2
=1
??，
则????=1??
，其中??=??2∕??1，得证。
1.17利用复数表示式求两个波??1=??cos(????+????)和??2=???cos(?????????)的合成。
解：??=??1+??2=??[cos(????+????)?cos(?????????)] =??exp[??(????+????)]???exp[??(?????????)] =??exp(ikx)(???????
?????????)
=2??sin(????)exp(??cos?????sin????)
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=?2????????[??(????+??
2
)]sin(????)。
1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为??1=??1??????(??1?????)和??2=??2cos(??2?????)。若??=2??×1015Hz，??1=6V/m，??2=8V/m，??1=0，??2=??∕2，求该点的合振动表达式。
解：??=??1+??2=??1??????(??1?????)+??2cos(??2?????)=6cos(?2??×1015??)+8??????(??
2?2??×1015??)
=6??????(2??×1015??)+8??????(2??×1015??) =10??????(????????????
610
?2??×1015??)
=10??????(53°7′48′′?2??×1015??)。
1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。
解：由图可知，??(??)={??(0
???+??(??∕2
??2??
0=??∫??(??)???
0=2
??∕2
????(∫0
?????+∫??∕2(???+??)???)=??
2
，
??2??
??
=??∫??(??)??????(??????)??? 0
=2
???2
??
??
（∫0
??(??)cos?????????+∫???2??(??)cos?????????）
=?2
228
??2
2????
·(?
??2??
2)=???
·
??2(2??)2
=?
??2(2??)2
，（m为奇
数），????=2??
??∫0??(??)???????????????=0，
所以??(??)=??
2??∞4?
??2
∑??=1(cos?????????2)
=???
2??cos????cos3????4
??2(
12+
32+
cos5????52+···)。
1.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数的表达式。
解：由图可知，??(??)=1(???∕??
??=2????∕????
??∫??(??)???=2(∫???+∫???)=40 0??0?????∕??
??????
=2??
??∫??(??)??????(??????)??? 0
2
?????=??
??(∫
cos?????????+∫0????????cos?????????)
=
2
2????????
sin
??
，????=2∫??
??
0??(??)???????????????=0，
实用标准
2∞所以??(??)=+2
??
∑
??=1????
sin
2??????
cos??????。
1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周期性矩形波做傅里叶分析。
解：由图可知，??(??)={1(0
?1(???2
??0=2
∫??
??∕2
??
??
0??(??)???=∫0
???+∫??∕2(?1)???=0，
????=2
????∫0??(??)??????(??????)???=0，
????=2
??
??
∫0??(??)???????????????，
=2
(∫??
??
??0sin??????????∫??∕2sin?????????)
=
1????
(2?2cos????)，
∞所以??(??)=1
1
??
∑
??=1??
(2?2cos????)sin??????
=4??(sin????+11
3sin3????+5sin5????+···)
1.23氪同位素??86??
放电管发出的红光波长为??=605.7nm，波列长度约为700mm，试求该光波的波长宽度和频率宽度。
解：由题意，得，波列长度2??=700????， 由公式????=
??2605.722??
=
700×106
=5.2×10?4nm，
又由公式2??=??/????，所以频率宽度????=
??2??
=
3×108700×10
?3????=4.3×108
????。
1.24某种激光的频宽????=5.4×104Hz，问这种激光的波列长度是多少？ 解：由相干长度D??????=
??2c????
=
????
，所以波列长度2??=
??2????
=
c8????
=
3×105.4×104
=5.55×103??。
第二章 光的干涉及其应用
2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度?=0.01mm，折射率??=1.5，若光波波长为500nm，试计算插入玻璃片前后光束光程和相位的变化。
解：由时间相干性的附加光程差公式??=(???1)? =(1.5?1)×0.01mm=0.005mm，
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??=
2????
??=
2??500×10?6×0.005=20??。
2.2在氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm，观察屏至小孔所在平面的距离为100cm，在观察屏上测得的干涉条纹间距为1.5cm，求所用光波的波。 解：由公式??=??????
，得光波的波长
??=
?????
=
1.5×10?3×0.4×103
100×10?2
??=6×10?7??=600nm。
2.3波长为589.3nm的钠光照射在双缝上，在距双缝100cm的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为2.4cm，试计算双缝之间的距离。
解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹的宽度为??=2.420
cm。又由公式??=
??????
，得双缝间距
离?=
?????
=
589.3×10?6×100×10
10×2.4∕20
mm=0.491mm。
2.4设双缝间距为1mm，双缝离观察屏为1m，用钠光照明双缝。钠光包含波长为??1=589nm和??2=589.6nm两种单色光，问两种光的第10级亮条纹之间的距离是多少？
解：因为两束光相互独立传播，所以??1光束第10级亮条纹位置??1=????1????
，??2光束第10级亮条纹位
置??2=????2????
，所以间距??=??2???1=??????
(??2???1)
=
10×1000
1×(589.6?589)×10?6=6×10?3mm。
2.5在氏双缝干涉的双缝后面分别放置??1=1.4和??2=1.7，厚度同为t的玻璃片后，原来中央极大所在点被第5级亮纹所占据。设??=480nm，求玻璃片厚度t以及条纹迁移的方向。 解：由题意，得 (??2???1)??=5??， 所以??=
5??5×480×10?9
??2???1
=
1.7?1.4
=8×10?6??=8????，
条纹迁移方向向下。
2.6在氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm的充以空气的气室代替薄片置于小孔??1前，在观察屏上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了25个。已知照明光波波长为656.28nm，空气折射率????=1.000276，试求注入气室的气体的折射率。 解：设注入气室的气体的折射率为??，则 (???????)?=25??，所以??=
25???
+????
=25×656.28×10?9
30×10?3+1.000276
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=5.469×10?4+1.000276=1.000823。 2.7氏干涉实验中，若波长??=600nm，在观察屏上形成暗条纹的角宽度为0.02°，（1）试求氏干涉中二缝间的距离？（2）若其中一个狭缝通过的能量是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？ 解：角宽度为??=0.02°×180??
，
所以条纹间距??=
????
=
6000.02°×
180=1.72mm。
??
由题意，得 ??1=4??2，所以干涉对比度 ??=2√??1∕??22×√4??2∕1+??=??2
+4??=4?5=0.8
1∕??212∕??22.8若双狭缝间距为0.3mm，以单色光平行照射狭缝时，在距双缝1.2m远的屏上，第5级暗条纹中心离中央极大中间的间隔为11.39mm，问所用的光源波长为多少？是何种器件的光源？ 解：由公式??=(??+1????
2
)??
，所以??=
????
??(??+1)
2
=11.39×10?3×0.3×10?3
12×(4+0.5)
??
=632.8nm。
此光源为氦氖激光器。
2.12在氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个直径为2mm的圆形光源。光源发光的波长为500nm，它到小孔的距离为1.5m。问两小孔可以发生干涉的最大距离是多少？
解：因为是圆形光源，由公式????=1.22????∕?， 则?=
1.22?????6×1.5×103
????
=
1.22×500×102
=0.46mm。 2.13月球到地球表面的距离约为3.8×105km，月球的直径为3477km，若把月球看作光源，光波长取500nm，试计算地球表面上的相干面积。 解：相干面积??=??(
0.61×??2??
??
)=??×(0.61×500×10?6×3.8×10112
3.477×109)
=3.49×10?3????2。
2.14若光波的波长宽度为????，频率宽度为????，试证明：|????
|=|????
??
??
|。式中，??和??分别为光波的频率
和波长。对于波长为632.8nm的氦氖激光，波长宽度为????=2×10?8nm，试计算它的频率宽度和相干长度。
解：证明：由????????=c????=??2?????，则有 ????????=??2?????????????=???????????????=????????∕???? 文档大全
?
??????
=
???????
（频率增大时波长减小），取绝对值得证。
相干长度????????=??2?????=632.822×10?8
=2.0×
1013nm=20km， 频率宽度????=
??????????
=
3×10820×103????
=1.5×104Hz。
2.15在图2.22（a）所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为?=3mm和??=1.5，望远镜的视场角为6°，光的波长??=450nm，问通过望远镜能够看见几个亮纹？
解：设能看见??个亮纹。从中心往外数第??个亮纹对透镜中心的倾角????，成为第N个条纹的角半径。设??0为中心条纹级数，??为中心干涉极小数，令??0=??+??(??∈??,?0≤??<1)，从中心往外数，
第N个条纹的级数为???(???1)=??0?(???1)???，则 {
??中=2???+???2=??0??=(??+??)??
????=2?????????????+???2=[???(???1)??]
，
两式相减，可得2???(1?cos????)=(???1+??)??，利用折射定律和小角度近似，得????=
1??′√
?????
√???1+??，(??′?为平行平板周围介质的折
射率)
对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为??=2???+??
=(2×1.5×3×1064502+
2
)nm=
(2×104+12)×450nm。因此，视场中心是暗点。
6由上式，得??=
h??2??
×(
??×3°180°
)2
????
=
3×101.5×450
=12.1，因此，
有12条暗环，11条亮环。
2.16一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度均匀的折射率为??=1.5 的薄膜上，发现反射光谱中出现波长为400nm和600nm的两条暗线，求此薄膜的厚度？
解：光程差??=(???1)?=??2???1， 所以?=
??2???1???1
=
(600?400)×10?3
1.5?1
????=0.4????
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2.17用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm的围共有15个亮条纹，玻璃折射率??=1.52，所用单色光波长??=600nm，问此光楔的楔角为多少？ 解：由公式??=??2????
，所以楔角??=
??2???
，
又??=
515
cm=1?3cm，
所以??=600×10?91?5×10?2×1.52
rad=5.92×10rad。
3
2.18利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第10个暗环的直径为2cm，若所用单色光波长为500nm，透镜的曲率半径是多少？ 解：由曲率半径公式??=
??2????
(2
×10?2=)
2
210×500×10?9
??=20m。
2.19F-P干涉仪两反射镜的反射率为0.5，试求它的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以折射率??=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小透射率又是多少？（不考虑系统吸收） 解：当反射率??=0.5 时，由光强公式
??(????)
=??，?????)2
??(??)
=
(14??+(1???)2??(??) 可得最大透射率????=1； 最小透射率??(??=
1???)2
4??+(1???)2=0.11。
当用玻璃平板代替时，??=1.6 ，则
2
2
?????11.6?1
??=(??+1)=(1.6+1)
所以??)2??′=1 ，????′
=
(1?????
4????+(1?????)2≈0.81。
2.20已知一组F-P标准具的间距分别为1mm和120mm，对于??=550.0nm 的入射光而言，求其相应的标准具常数。如果某激光器发出的激光波长为632.8nm，波长宽度为0.001nm，测量其波长宽度时应选用多大间距的标准具？ 解：(????1)??.??=??22?1
=
55022×1×106
=0.15????，
(????2)??.??=??22?2
=
55022×120×106=0.0013nm，
?3=
??′2
2(????3)??.??
=
632.822×0.001
=2×108nm=200mm。
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2.21有两个波长??1和??2，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉仪把两谱线分辨开来，间隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱围是多少？设反射率??=0.98。 解：由分辨极限公式(????)??=???21???2???√??，得
F-P干涉仪间隔?=???21???2??(????)??√?? 6002=1?0.982??×0.0001×10?9×√0.98mm=11.58mm 自由光谱围(????)???.??=??260022?1
=
2×11.58×106=
0.0155nm。
2.22在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为
5??04
（??0=550nm）的介质膜。问：（1）介质膜的作用？（2）求此时可见光区（390~780nm）反射最大的波长？
解：（1）作用：因为上下表面光程差2???=2×
5??4
=
(2+12
)??0，所以该介质膜对??0的反射达到最小，为增透膜；（2）由???=5??04
，可知，对波长为??0，??=5??，
??=
(??0?????)2cos2??2+(
??0?????????)2sin2
??(????，反射最大的波长满0+????)2cos2??0????22
2??2+(??+??)sin
2足2???=2×
5??4
=????，则??=
5??02??
?，取??=2,3?时则
符合条件的可见光的波长分别为687.5nm和458.3nm。
2.23在玻璃基片上镀两层光学厚度为??0∕4的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，为了达到在正入射下膜系对??0全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻璃基片的折射率????=1.6） 解：由题意，得??1=1.35，????=1.6，??0=1， 要使膜系对??0全增透，由公式 ??2=√
??????0
??1=√
1.61
×1.35=1.71。
物理光学梁铨廷问题详解
