2020届江苏省南京市高三上学期期初学情调研考试
数学试题
一、填空题
1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q=__________. 【答案】{0，2}
【解析】因为交集就是由两个集合的公共元素组成的集合，集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，所以
P?Q??0,2?，故答案为?0,2?.
2．若(a＋bi)(3－4i)＝25 (a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为__________． 【答案】7
3a?4b?25a?3 ?{ ， 【解析】?a?bi??3?4i???3a?4b???3b?4a?i=25， ?{3b?4a?0b?4a?b?7，故答案为7.
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层
抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________． 【答案】16 【解析】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150150所以本校共有学生1000名，，，400，300名学生，
因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是
4011，因为丙专业有400人，所以要抽取400???16人．
10002525【考点】分层抽样．
4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入x的值为__________．
【答案】－2 2x,x?01 ，若log2??x??，则x?2?0，不合题【解析】该程序框图表示的是函数f?x??{log2??x?,x?02意，若log2x?1，则x??2?0合题意，故输入的x值为?2，故答案为?2. 2的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为
5．记函数f(x)＝__________． 【答案】
1 2【解析】由4?3x?x2?0，得?2?x?3，因为D??4,1，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数x，则x?D的概率P???4???1?5???5??11，故答案为.
22【方法点睛】本题題主要考查“区间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度
型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为__________． 【答案】3
x2y2??1， ?c2?16?9?25，焦点坐标为?5,0?，渐近线方程为 【解析】双曲线方程为
16915?0x2y2??1d??3，的焦点到其渐近线的距离为： 3x?4y?0，由点到直线距离公式得双曲线
5169故答案为3.
7．已知实数x，y满足条件【答案】6
则z=3x－2y的最大值为__________．
【解析】
2?x?4画出{31y?3 表示的可行域如图，平移直线y?x?z，由图知，当直线过点A?4,3?时， z?3x?2y22x?y?8有最大值6，故答案为6.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步
骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
3
8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm，则该圆柱的侧面积为
2
___________cm. 【答案】18
【解析】设正方体棱长为a，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为
?a2?a??a3?27?,a?3，圆柱侧面积S?2?a?a?2?a2?18?，故答案为18?.
9．若函数f(x)＝Asin(__________．
x＋)(A＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f(－π)的值为
【答案】-1
【解析】由图可知， A?2，
T?32?22??又由????0，得???， ?????,T?3?????，
444?3346?????2?2?f?x??2sin?x??,f?????2sin???????1，故答案为?1.
6?6??3?3【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像
先求出周期，用周期公式求出?，利用特殊点求出?，正确求?，?使解题的关键.求解析时求参数?是确定函数解析式的关键，由特殊点求?时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求?值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时?x???0；“第二点”(即图象的“峰点”) 时?x????23?四点”(即图象的“谷点”) 时?x???；“第五点”时?x???2?.
2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点) 时?x????；“第
10．记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110， 则m的值为__________．
【答案】6 【解析】
?S2m??an?是等差数列，
a2m?1?a1可得m?6，??2m?1???2m?1?am?10?2m?1??110，
2故答案为6.
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是__________． 【答案】(－∞，2] 【解析】
f?x?是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数， ?f?x?在?0,???也是增函
数，即f?x?在R上递增，又f??1???2,?f?1??2,?f?2x?3??2?f?1?， 2x?3?1,x?2，即
满足f?2x?3??2的x的取值范围是???,2，故答案为???,2. 12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120【答案】
＝λ
．若
·
＝－，则实数λ的值为__________．
??1 3AB?3,AC?2,?BAC?120,?由余弦定理可得BC?19，又根据余弦定理可得
24417??，， AM?BC?BM?BA?BC??BC?BA?BC ?19??3?19?解
31919【解析】
cos?ABC?得????11，故答案为. 332
2
13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)＋(y－2)＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直
线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为__________． 【答案】－【解析】
4 3M在?x?2???y?2??1， ?可设M?2?cos?,2?sin??，可得N?2?cos?,?2?sin??，
22将N的坐标代入kx?y?3?0，可得sin??kcos??2k?1， 2k?1?k2?1，化为得
4443k2?4k?0,??k?0， k的最小值为?，故答案为?.
33314．已知函数f (x)＝值范围为__________．
【答案】[0，2]∪[3，8]
若存在唯一的整数x，使得
＞0成立，则实数a的取
【解析】
f?x??ax?f?x??ax?0表示y?f?x?上的点x,f?x?与?0,a?在线的斜率，做出y?f?x?的图象，由图??可知， a?0,2时，有一个点整数点1,f?1?满足????f?x??ax?0?0，符合题意， a??2,3?时，有两个整
数点1,f?1?,?1,f??1?满足
????f?x??ax?0?0，不合题意， a??3,8?时，只有一个点??1,f??1??满足
f?x??ax?0f?x??ax?0?0符合题意，当a?8时，至少存在两点??1,f??1??,??2,f??2??满足
?0不合题意，
故答案为0,2?3,8.
【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
二、解答题 15．（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证： （Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）A1C//平面AB1E．
????
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得AE?平面ABC，可得CC1?AE，再根据等腰三角形性质可得AE?BC，从而可得AE?平面B1BCC1，进而得出结果；（2）连接A1B，设A1B?AB1?F，连接EF，由平行四边形的性质结合中位线定理可得EF//A1C.根据线面平行的判定定理可得结果. 试题解析：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1因为AE?平面ABC，
所以CC1?AE．
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE?BC． 因为BC在平面B1BCC1，内，CC1在平面B1BCC1内 且BC∩CC1＝C，
所以AE?平面B1BCC1． 因为AE在平面AB1E内
所以平面AB1E?平面B1BCC1. （2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．
ABC．
2020届江苏省南京市高三数学上学期期初学情调研考试试题Word版含解析
