EAODBFC
解:QAB?6,BC?8 ?由勾股定理可得AC?10
根据题意有AF?CF,设AF?CF?x,BF?8?x
由勾股定理AB2?BF2?AF2,即62?(8?x)2?x2 解得x??FC?25 425 425751?6?,SYAFCE?AC?EF 422QSYAFCE?CF?AB?15 (提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半) 2已知:如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分?BAD,?AOD?120?,求?AEO16.的度数
?EF?AOBECD答案:提示?ABE为等腰直角三角形,?OAB为等边三角形,
?OBE为等腰三角形 ?OBE?30?,?OEB?75?,?OEA?75??45??30?
17.如图,MN为过Rt?ABC的直角顶点A的直线,且BD?MN于D,CE?MN于点E,AB?AC,F为BC的中点,求证:DF?EF
AMDENAMDENBFCBFC
证明:连接AF
Q?ABC为直角三角形,F为斜边BC的中点 ?BF?AF?CF
Q?BAC?90? ??BAM??NAC?90? QBD?MN,CE?MN
??BAM??DBA?90?,?BDA??AEC?90?
??DBA??EAC,又QAB?AC ??DBA??EAC(AAS)
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?DB?AE
QAB?AC,?BAC?90?,F为BC的中点 ??ABC??FAC?45?
??DBA??ABC??CAF??CAN,即?DBF??FAE
又QDB?AE,AF?BF ??DBF??EAF(SAS)?DF?EF
总结:在直角三角形中,出现中点时,常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线
如图E是菱形ABCD边AD的中点,EF?AC于H,交CB的延长线于F,交AB于G,18.
求证:AB与EF互相平分
AGFBHEDGFBAHEDCC
证明:Q四边形ABCD是菱形
?AE?AG ??BAC??DAC QAC?EG,AH?AH ??AHE??AHG(ASA)
11AD ?AG?AB 22QAD∥BC ??F??AEG
Q?BGF??AGE ??AGE??BGF(AAS) ?EG?FG,AG?GB 即AB与EF互相平分
方法二:连接AF,BE
QAE?11AD,AG?AB得?AGE??AEG??BGF??BFG,则AE?AG?BG?BF 22?AE∥BF且AE?BF?四边形AFBE为平行四边形 ?AB与EF互相平分
19.如图,在?ABC中,?ACB?90?,AD是?A的平分线,交BC于点D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE?AB于E.求证:四边形CDEF是菱形 由AE?CDFAHEB
证明:QAD是?A的平分线 ??CAD??EAD
Q?ACB?90?,CH?AB
??CAD??CDA?90?,?FAH??AFH?90? ??CDA??AFH Q?AFH??CFD ??CFD??CDF ?CF?CD
QAD是?A的平分线,CD?AC,DE?AB ?CD?DE ?CF?DE QCH?AB,DE?AB
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?CH∥DE
?四边形CFED是平行四边形
QCD?CF ?平行四边形CFED是菱形
20.菱形ABCD中,?DAB?120?,如果它的一条对角线长为12cm,求菱形ABCD的边长 解:
DDACAOCBB若对角线AC?12cm,
如图Q四边形ABCD为菱形,且?DAB?120???DAC??BAC?60?则?ADC为等边三角形 ?菱形ABCD的边长为12cm 若对角线BD?12cm,
如图Q四边形ABCD为菱形,且?DAB?120???DAC??BAC?60?则?ADC为等边三角形 又QOD?OB?OD?OB?6cm 设OA?x,AD?2x, 由勾股定理可得(2x)2?x2?62,解得x?23,?AD?43cm 综上所述:菱形ABCD的边长为12cm或43cm
22.如图,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,F是BC上的一点,且BF?3FC 求证:AE?EF
ADADEEBFCBFC
证明:连接AF,设FC?k,则BC?4k
Q四边形ABCD是正方形 ??B??C??D?90?,AB?BC?CD?AD?4k QE为CD中点 ?DE?EC?2k
在Rt?ABF中,AF2?AB2?BF2?25k2 在Rt?ECF中,EF2?EC2?FC2?5k2 在Rt?ADE中,AE2?AD2?DE2?20k2 则AE2?EF2?AF2,??AEF是直角三角形 ??AEF?90? ?AE?EF
(到初三的时候此题还有额外的证明方法)
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23.如图,过正方形ABCD对角线BD上一点P,作PE?BC于E,作PF?CD于F,连接AP,EF.求证:AP?EF,AP?EF
ADADPFBCBPFHECE
证明:连接PC,延长AP交EF于点H
Q四边形ABCD是正方形
??ABP??CBP?45?,AB?BC
QBP?BP ??ABP??CBP(SAS) ?AP?CP,?BAP??BCP
QPE?BC,PF?CD,BC?CD
?四边形PECF为矩形(有三个角为直角的四边形为矩形) ?PC?EF ?PA?EF
QPF?EC,?EPF??PEC?90? ??PEF??EPC(HL)
??PFE??PCE ??PFE??BAP
QAB?BC,PE?BC ?AB∥PE ??BAP??EPH
Q?PFE??PEH?90? ??EPH??PEH?90? ?AP?EH
24.如图正方形ABCD中,M是AB的中点,MN?DM,BN平分?CBE,交MN于N 求证:DM?MN
DCDCNFNAMBEAMBE
证明:取线段AD的中点F,连接FM Q四边形ABCD为正方形
?AB?AD,?A??ABC?90? QF为AD中点,M为AB中点 ?DF?AF?AM?MB
??AFM??AMF?45? ??DFM?135? QBN平分?CBE ??CBN??EBN?45? ??MBN?135? ??DFM??MBN QDM?MN ??DMA??NMB?90?
Q?DMB??ADM?90? ??ADM??MBN
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在?DMF与?MNB中
??MDF??NMB? ?DF?MB ??DMF??MNB(ASA) ?DM?MN
??DFM??MBN?思考:若点M是线段AB上一个动点,其他条件不变,则上面的结论还成立么?
DCDCNFEANAMBMBE
请参考上面的解题思路,本题还有额外的证明方法,但是需要初三学习的知识,现在就不列举了
25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?BC,E,F分别是AD,BC的中点,且EF?BC,求证:梯形ABCD为等腰梯形
AEDAEDBFCBMFNC
证明:过E分别作AB,DC的平行线交BC于M,N,易知四边形ABME和四边形DCNE
都是平行四边形
?AE?BM,DE?NC,AB?EM,DC?EN
QE,F分别是AD,BC的中点 ?AE?DE,BF?CF
?BM?CN ?BF?BM?CF?NC ?MF?NF
QEF?BC ?EM?EN ?EF是线段MN的垂直平分线 ?ME?NE ?AB?CD 故梯形ABCD是等腰梯形
26.已知等腰梯形ABCD中,AB?CD,?B?60?,AD?15cm,BC?49cm,求它的腰长
ADADBCBEC
解:方法一:过点A作AE∥DC,交BC于点E QAD∥BC ?四边形AECD为平行四边形
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(完整word版)北京初二数学知识点与常见题型总结,推荐文档
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