EAODBFC
解：QAB?6,BC?8 ?由勾股定理可得AC?10
根据题意有AF?CF，设AF?CF?x，BF?8?x
由勾股定理AB2?BF2?AF2，即62?(8?x)2?x2 解得x??FC?25 425 425751?6?，SYAFCE?AC?EF 422QSYAFCE?CF?AB?15 （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） 2已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分?BAD，?AOD?120?，求?AEO16．的度数
?EF?AOBECD答案：提示?ABE为等腰直角三角形，?OAB为等边三角形，
?OBE为等腰三角形 ?OBE?30?，?OEB?75?，?OEA?75??45??30?
17.如图，MN为过Rt?ABC的直角顶点A的直线，且BD?MN于D，CE?MN于点E，AB?AC，F为BC的中点，求证：DF?EF
AMDENAMDENBFCBFC
证明：连接AF
Q?ABC为直角三角形，F为斜边BC的中点 ?BF?AF?CF
Q?BAC?90? ??BAM??NAC?90? QBD?MN，CE?MN
??BAM??DBA?90?，?BDA??AEC?90?
??DBA??EAC，又QAB?AC ??DBA??EAC（AAS）
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?DB?AE
QAB?AC，?BAC?90?，F为BC的中点 ??ABC??FAC?45?
??DBA??ABC??CAF??CAN，即?DBF??FAE
又QDB?AE，AF?BF ??DBF??EAF（SAS）?DF?EF
总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线
如图E是菱形ABCD边AD的中点，EF?AC于H，交CB的延长线于F，交AB于G，18．
求证：AB与EF互相平分
AGFBHEDGFBAHEDCC
证明：Q四边形ABCD是菱形
?AE?AG ??BAC??DAC QAC?EG，AH?AH ??AHE??AHG（ASA）
11AD ?AG?AB 22QAD∥BC ??F??AEG
Q?BGF??AGE ??AGE??BGF（AAS） ?EG?FG，AG?GB 即AB与EF互相平分
方法二：连接AF，BE
QAE?11AD，AG?AB得?AGE??AEG??BGF??BFG，则AE?AG?BG?BF 22?AE∥BF且AE?BF?四边形AFBE为平行四边形 ?AB与EF互相平分
19．如图，在?ABC中，?ACB?90?，AD是?A的平分线，交BC于点D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE?AB于E．求证：四边形CDEF是菱形 由AE?CDFAHEB
证明：QAD是?A的平分线 ??CAD??EAD
Q?ACB?90?，CH?AB
??CAD??CDA?90?，?FAH??AFH?90? ??CDA??AFH Q?AFH??CFD ??CFD??CDF ?CF?CD
QAD是?A的平分线，CD?AC，DE?AB ?CD?DE ?CF?DE QCH?AB，DE?AB
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?CH∥DE
?四边形CFED是平行四边形
QCD?CF ?平行四边形CFED是菱形
20．菱形ABCD中，?DAB?120?，如果它的一条对角线长为12cm，求菱形ABCD的边长 解：
DDACAOCBB若对角线AC?12cm，
如图Q四边形ABCD为菱形，且?DAB?120???DAC??BAC?60?则?ADC为等边三角形 ?菱形ABCD的边长为12cm 若对角线BD?12cm，
如图Q四边形ABCD为菱形，且?DAB?120???DAC??BAC?60?则?ADC为等边三角形 又QOD?OB?OD?OB?6cm 设OA?x，AD?2x， 由勾股定理可得(2x)2?x2?62，解得x?23，?AD?43cm 综上所述：菱形ABCD的边长为12cm或43cm
22．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，F是BC上的一点，且BF?3FC 求证：AE?EF
ADADEEBFCBFC
证明：连接AF，设FC?k，则BC?4k
Q四边形ABCD是正方形 ??B??C??D?90?，AB?BC?CD?AD?4k QE为CD中点 ?DE?EC?2k
在Rt?ABF中，AF2?AB2?BF2?25k2 在Rt?ECF中，EF2?EC2?FC2?5k2 在Rt?ADE中，AE2?AD2?DE2?20k2 则AE2?EF2?AF2，??AEF是直角三角形 ??AEF?90? ?AE?EF
（到初三的时候此题还有额外的证明方法）
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23．如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE?BC于E，作PF?CD于F，连接AP，EF．求证：AP?EF，AP?EF
ADADPFBCBPFHECE
证明：连接PC，延长AP交EF于点H
Q四边形ABCD是正方形
??ABP??CBP?45?，AB?BC
QBP?BP ??ABP??CBP（SAS） ?AP?CP，?BAP??BCP
QPE?BC，PF?CD，BC?CD
?四边形PECF为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形） ?PC?EF ?PA?EF
QPF?EC，?EPF??PEC?90? ??PEF??EPC（HL）
??PFE??PCE ??PFE??BAP
QAB?BC，PE?BC ?AB∥PE ??BAP??EPH
Q?PFE??PEH?90? ??EPH??PEH?90? ?AP?EH
24．如图正方形ABCD中，M是AB的中点，MN?DM，BN平分?CBE，交MN于N 求证：DM?MN
DCDCNFNAMBEAMBE
证明：取线段AD的中点F，连接FM Q四边形ABCD为正方形
?AB?AD，?A??ABC?90? QF为AD中点，M为AB中点 ?DF?AF?AM?MB
??AFM??AMF?45? ??DFM?135? QBN平分?CBE ??CBN??EBN?45? ??MBN?135? ??DFM??MBN QDM?MN ??DMA??NMB?90?
Q?DMB??ADM?90? ??ADM??MBN
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在?DMF与?MNB中
??MDF??NMB? ?DF?MB ??DMF??MNB(ASA) ?DM?MN
??DFM??MBN?思考：若点M是线段AB上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？
DCDCNFEANAMBMBE
请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?BC，E，F分别是AD，BC的中点，且EF?BC，求证：梯形ABCD为等腰梯形
AEDAEDBFCBMFNC
证明：过E分别作AB，DC的平行线交BC于M，N，易知四边形ABME和四边形DCNE
都是平行四边形
?AE?BM，DE?NC，AB?EM，DC?EN
QE，F分别是AD，BC的中点 ?AE?DE，BF?CF
?BM?CN ?BF?BM?CF?NC ?MF?NF
QEF?BC ?EM?EN ?EF是线段MN的垂直平分线 ?ME?NE ?AB?CD 故梯形ABCD是等腰梯形
26．已知等腰梯形ABCD中，AB?CD，?B?60?，AD?15cm，BC?49cm，求它的腰长
ADADBCBEC
解：方法一：过点A作AE∥DC，交BC于点E QAD∥BC ?四边形AECD为平行四边形
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