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河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
理科数学
本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔记签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z?(?3?4i)i在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 2．已知全集U?R，M?{x|?x2?2x}，则eUM?
C．第三象限
D．第四象限
A．{x|?2?x?0} B．{x|?2?x?0}
C．{x|x??2或x?0} D．{x|x??2或x?0}
3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图
则下列结论正确的是
A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变 D．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加
4．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S10?100，则a7?
A．11 B．12 C．13 D．14 5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x?0时，f(x)?xlnx，则x?0时，f(x)?
A．xlnx
B．xln(?x)
C．?xlnx
D．?xln(?x)
xyx2y26．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)和直线l：??1，若过椭圆C的左焦点和下顶点的直线与直
43ab线l平行，则椭圆C的离心率为
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31 D． 45uuuruuuruuur7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE?2EO，则ED?
r2uuur1uuuA．AD?AB
33r1uuur2uuuB．AD?AB
33r1uuur2uuuC．AD?AB
33r2uuur1uuuD．AD?AB
33A．
B．
C．
8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A．有四个两两全等的面 B．有两个互相全等的面 C．只有一对互相全等的面 D．所有面都不全等
9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设DF?2AF?2，若在大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是
A．
4 5354 13B．213 13C．
9 26D．313 26??ex,x?010．已知函数f(x)??（e为自然对数的底数），若关于x的方程f(x)?a?0有两个不等的实根，
?lnx,x?0则a的取值范围是
A．a??1
B．?1?a?1
C．0?a?1
D．a?1
x2y211．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左，右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2?y2?a2的切线，交双
ab曲线的右支于点M，若?F1MF2?45?，则双曲线的渐近线方程为
A．y??2x
B．y??3x
C．y??x
D．y??2x
12．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BB1,CC1的中点，点O为上底面的中心，过
E,F,O三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有A1的部分为几何体V1，不含A1的部分为几何体V2，已知M为几何体V2中（内部与表面）的任意一点，设A1M与平面A1B1C1D1所成的角为?，则sin?的最
大值为
2 225B．
526C．
526D．
6A．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
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?x?y?1?0?13．已知实数x,y满足约束条件?2x?y?4?0，则z?x?2y的最小值为________．
?y?0?14．已知数列{an}，若数列{3n?111an}的前n项和Tn??6n?，则a5?________．
5515．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个． 16．已知函数f(x)??sin(的最大值为________．
三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）
如图，在?ABC中，P是边BC上一点，?APC?60?，AB?23，AP?PB?4．
（1）求BP的长； （2）若AC??3x??)?|x?2|(|?|??2)的图像关于直线x?2对称，当x?[?1,2]时，f(x)53，求cos?ACP的值． 4
18．（本小题12分）
在?ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AB?2BC?2CD，如图1．以DE为轴将?ADE翻折，使点A到达点P的位置，如图2．
（1）证明：平面BCP?平面CEP；
（2）若平面DEP?平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值． 19．（本小题12分）
某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x在[100,150)内，且其频率y满足y?10a?（1）求a的值；
（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）
n（其中10n?x?10(n?1)，n?N?） 20理科数学试题 第3页(共4页)
（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量?，求?的数学期望． 20．（本小题12分）
已知抛物线E：x2?2py(p?0)的焦点为F，A(2,y0)是E上一点，且|AF|?2． （1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y?x?3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，求证：直线BM过定点． 21．（本小题12分）
已知函数f(x)?eax?x?1(a?R)．
（1）当a?1时，求证：f(x)?0； （2）讨论函数f(x)的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
?2t?x??2??2??2sin??2acos?(a?0)；直线l的参数方程为?（t为参数），直线l与曲线C分别交于
?y?2t??2M,N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若点P的极坐标为(2,?)，|PM|?|PN|?52，求a的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分） 已知函数f(x)?|x?2|．
（1）求不等式f(x?1)?xf(x?3)的解集；
（2）若函数g(x)?log2[f(x?3)?f(x)?2a]的值域为R，求实数a的取值范围．
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理科数学试题 第5页(共4页)
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