《数学分析》教案
第二十二章 曲面积分
教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时
§ 1 第一型曲面积分
一. 第一型面积分的定义:
1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2. 曲面的质量: 3. 第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分4. 第一型面积分的性质: 二. 第一型面积分的计算: 1. 第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面
. .
例4 计算积分
, 其中
是球面
被平面 为
上的连续函数,则
.
所截的顶部 . P281
§2 第二型曲面积分
一. 曲面的侧:
1. 单侧曲面与双侧曲面: 2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为
则上侧法线方向对应第三个分量
,
, 即选“+”号时，应有
，亦即法线方向与
轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧.
二. 第二型曲面积分:
1.稳流场的流量: 以磁场为例. P284 2.第二型曲面积分的定义: P284 . 闭合曲面
上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设
三. 第二型曲面积分的计算: Th22.2 设 上的连续函数, 以
是定义在光滑曲面 的上侧为正侧( 即
), 则有
D
为曲面
的指定法向, 则 .
- 1 -
《数学分析》教案
.
证 P 类似地, 对光滑曲面
.
D
, 在其前侧上的积分
对光滑曲面
D
, 在其右侧上的积分
.
计算积分
,
时, 通常分开来计算三个积分 ,
.
为此, 分别把曲面 投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面 的定向决定. 例1 计算积分
,其中 是球面
分取外侧. P287 例2 计算积分
在
部
，
为球面
取外侧.
解 对积分
因此,
: :
=
+ , 分别用
和
记前半球面和后半球面的外侧, 则有
; .
=
.
- 2 -
《数学分析》教案
对积分
因此,
: :
+ , 分别用
和
记右半球面和左半球面的外侧, 则有
; .
=
.
对积分
因此,
: :
, 分别用
和
记上半球面和下半球面的外侧, 则有
; .
=
+
=
.
综上, =
§ 3 Gauss公式和Stokes 公式
.
一. Gauss公式:
Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面 上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则 其中
,
围成 . 若函数
在V
取外侧. 称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.
.
证 只证
设V是
型区域( 即 型体 ) , 其边界曲面
由曲面
- 3 -
《数学分析》教案
以及垂直于
下侧 , 上侧 ,
平面的柱面
D
, .
= =
.
, 有
D
(外侧)组成. 注意到
.
=
可类证
以上三式相加, 即得Gauss公式. 例1 计算积分
, .
，
为球面
取外侧.
解
.
由Gauss公式 .
例2 计算积分
，其中 . P291
是边长为
的正方体V的表面取外侧. V : 解 应用Gauss公式 , 有
- 4 -
《数学分析》教案
.
例1 计算积分
下方的部分，取外法线方向 . 解 设
为圆
，
为锥面
在平面
取上侧 , 则
构成由其所围锥体V的表面外
侧 , 由Gauss公式 , 有
=
而
锥体V的体积
;
因而, .
例1 设V是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点. 又设函数
、
是
和
在V上有连续的偏导数.
表示
V内任一不自交的光滑封闭曲面,
的外法线. 试证明: 对V内任意曲面
恒有
的充要条件是
证
由Gauss公式直接得到 .
在V内处处成立.
.
反设不然 , 即存在点
V, 使
在点
连续, 存在以点
,
不妨设其
. 由
为中心且在V内的小球
, 使在其内有
. 以 表示小球
的表面外侧, 就有
,
与矛盾.
二. Stokes公式:
- 5 -
第二十二章 曲面积分
