國中所學的數學概念 － 數與量
◎整數與數線（1上1-1、1-2、1-3）
▽① 正數與負數：
比0大的數稱為正數，比0小的數稱為負數；0不是正數，也不是負數。
12、3.2為正數；－、－4為負數。 5▽② 數線：
(1)數線的基本要素：原點、正向（箭頭）、單位長。 (2)數線上向右為正向，愈右邊的點所代表的數愈大， 愈左邊的點所代表的數愈小。
12在數線上標示出A（－0.5）、B（3）、C（－2）、D（1）四點。 43
由大到小排列為：3＞1
21＞－0.5＞－2。 34▽③ 三一律與遞移律：
(1)三一律：比較a、b兩數大小關係時，a＝b、a＞b、a＜b三種情形恰有一種會
成立。
1如果a＝b且b＝c，則a＝c。 (2)遞移律：有a、b、c三個數，○
2如果a＞b且b＞c，則a＞c。 ○
3如果a＜b且b＜c，則a＜c。 ○
(1) 7＞5且5＞2，則7＞5＞2。(2)－8＜－4且－4＜－2，則－8＜－4＜－2。
▽④ 相反數：
(1)在數線上，位於原點兩側且與原點距離相等的兩個點，所代表的數互為相反數。
(2)不論a為正數或負數，a與－a互為相反數；0的相反數是0。
因為3與－3位於原點左右兩側且與原點距離相等，所以3與－3互為相反數。
▽⑤ 絕對值：
(1)一個數的絕對值，就是在數線上，代表這個數的點與原點的距離。
∣－6∣表示在數線上「－6」這個數的點與原點的距離。 (2)互為相反數的兩數，其絕對值相等，即∣a∣＝∣－a∣。 (3) a為任意數，∣a∣會大於或等於0。
∣－4∣＝∣4∣＝4；∣－2∣＞0；∣0∣＝0。
▽⑥ 數線上兩點間的距離：
數線上，A（a）、B（b）兩點間的距離記作AB，AB＝∣a－b∣或∣b－a∣。
如果A（5）、B（－2）為數線上兩點，則AB＝∣5－（－2）∣＝7或
∣（－2）－5∣＝7。
1
▽⑦ 整數的運算：
1交換律：如果a、b為任意兩個整數，則a＋b＝b＋a。 (1)加法：○
3＋（－2）＝（－2）＋3＝1。
2結合律：如果a、b、c為任意三個整數，則（a＋b）○＋c＝a＋（b＋c）。
（7＋4）＋（－5）＝7＋〔4＋（－5）〕＝6。
(2)減法：減去一個數就相當於加上這個數的相反數。
(1)（－5）－3＝（－5）＋（－3）＝－8。 (2) 4－（－2）＝4＋2＝6。
相反數
相反數
1偶數個負數相乘，其乘積為正數；奇數個負數相乘，其乘積為負數。 (3)乘法：○
(1) 3×（－2）×（－1）×5＝30為正數。 (2)（－1）×（－2）×（－3）×5＝－30為負數。
2交換律：如果a、b為任意兩個整數，則a×b＝b×a。 ○
5×（－4）＝（－4）×5＝－20。
3結合律：如果a、b、c為任意三個整數，則（a×b）○×c＝a×（b×c）。
〔3×（－7）〕×2＝3×〔（－7）×2〕＝－42。
4乘法對加、減法的分配律：如果a、b、c為任意三個整數，則 ○
（a＋b）×c＝a×c＋b×c；c×（a＋b）＝c×a＋c×b， （a－b）×c＝a×c－b×c；c×（a－b）＝c×a－c×b。
(1) 101×25＝（100＋1）×25＝100×25＋1×25＝2525。 (2) 99×25＝（100－1）×25＝100×25－1×25＝2475。
(4)除法：兩個同號數相除，其結果為正數；兩個異號數相除，其結果為負數。
(1) 24÷8＝3，（－24）÷（－8）＝3。 (2)（－24）÷3＝－8，24÷（－3）＝－8。
◎指數律與科學記號（1上1-4、1-5、2-4）
▽① 指數律：
如果a、b皆是不等於0的數，m、n是兩個不為負的整數，則
n
(1) am×an＝am＋n。 (2) am÷an＝am－n。 (3)（am）＝am×n。
242＋46
3×3＝3＝3。
m
(4)（a×b）＝am×bm。
5
（3×4）＝35×45。
525－23
3÷3＝3＝3。
4
（32）＝32×4＝38。
maamm
(5)（a÷b）＝（）＝m＝am÷bm。
bb4
（6÷3）＝64÷34＝24。
▽② 指數為0與負整數：
(1)如果a是不等於0的整數，則a0＝1。
0
（－3）＝1。
2
(2)如果a是不等於0的整數，n是任意正整數，則a－n
＝
1an。 －2
1
4＝42＝116。 ▽③ 科學記號表示法：
以a×10m表示一個數，其中1?a＜10，m為整數，此種記錄方法稱為科學記號 表示法。
6
(1) 1750000以科學記號可表示為1.75×10。 1?1.75＜10 (2) 0.000045以科學記號可表示為4.5×10－5。 1?4.5＜10
▽④ 科學記號的比較大小：
比較兩個以科學記號表示的數a×10m與b×10n的大小，
(1)如果m＞n，則a×10m＞b×10n。（10的次方越大，其值越大）
6
4
2.3×10＞5.6×10。
(2)如果m＝n，且a＞b，則a×10m＞b×10n。
6
7.2×10＞3.8×106
。
◎最大公因數與最小公倍數（1上2-1、2-2）
▽① 因數與倍數：
如果a、b、c為任意三個正整數，而且a÷b＝c，亦即a＝b×c，則 (1) b、c是a的因數。(2) a是b、c的倍數。
180÷30＝6，亦即30×6＝180，則
(1) 30與6是180的因數。(2) 180是30與6的倍數。
▽② 倍數的判別法：
(1) 2的倍數：個位數字是0、2、4、6或8。 12、124、236。 (2) 3的倍數：各位數字和是3的倍數。 21、153、312。 (3) 4的倍數：末兩位數字是4的倍數。 48、128、236。 (4) 5的倍數：個位數字是0、5。
30、145、225。
(5) 9的倍數：各位數字和是9的倍數。 36、171、261。(6) 11的倍數：「奇數位數字和」與「偶數位數字和」的差是
11的倍數（包含0）。
44、132、286。
▽③ 質數與合數：
(1)一個大於1的整數，只有1和它本身兩個因數，則稱此數為質數。
(2)一個大於1的整數，除了1和它本身之外，還有其他因數，則稱此數為合數。
2、3、5、7、11、13是質數。
4、6、8、9、10、12是合數。
(3) 1不是質數，也不是合數；2是最小的質數，也是質數中唯一的偶數。
3
▽④ 質因數：
如果a是質數，且a是b的因數，就稱a為b的質因數。
6的因數有1、2、3、6，其中2、3是質數，所以2與3是6的質因數。
▽⑤ 互質：
如果兩數的最大公因數為1，則稱兩數互質。
（8 , 15）＝1，所以8與15互質。
▽⑥ 利用標準分解式求大公因數與最小公倍數：
(1)求a、b的最大公因數時，可先求出a和b的標準分解式，找出兩者共同的質因數， 由共同質因數中，分別取指數（次方）最小者相乘，即為a和b的最大公因數。 （2×3×5 , 2×3×7）＝2×3。
(2)求a、b的最小公倍數時，可先求出a和b的標準分解式，找出兩者全部的質因數， 再把兩者所有質因數中，分別取指數（次方）最大者相乘，即為a和b的最小公倍 數。
〔2×3×5 , 2×3×7〕＝2×3×5×7。
2
4
2
3
3
3
4
2
2
4
2
3
3
2
3
◎分數（1上2-3、2-4）
▽① 最簡分數：
一個分數，如果分子與分母互質，則稱此分數為最簡分數。 22的分子2和分母7互質，所以是最簡分數。 77▽② 指數的比較大小：
(1)當a＞1，n愈大，則an的值會愈大。 383736（）＞（）＞（）。 222(2)當0＜a＜1，n愈大，則an的值會愈小。
181716（）＜（）＜（）。 555▽③ 倒數：
當兩個數的乘積為1時，稱這兩個數互為倒數。 2323×＝1，則與互為倒數。 3232▽④ 分數的運算：
(1)異分母分數的加減：當進行異分母分數的加減時，通常先依分母的最小公倍數將
它們通分，再進行同分母分數的加減運算。
2143－＋＝－＋ ←〔2 , 3〕＝6 32661＝－。
6(2)正負分數的除法：可用「除以一個數等於乘以它的倒數」的方法，將分數除法改
為分數乘法再計算。
4
（－
3 除數的倒數
5
(3)正負分數的四則運算：
1在混合算式中，如果含有指數的運算，則應先做完指數的運算，然後由左而右， ○
先算乘除，後算加減。 59332×（－2）＋÷（） 12425927＝×4＋÷ ← 先做完指數的運算。 1248598＝＋× ← 由左而右，先乘除後加減。 34277＝ 32當有括號或絕對值時，應優先計算括號或絕對值內的算式。 ○
13∣3×1∣＋6÷（－） 6273＝＋6÷（－） ← 先計算絕對值內的算式。 2272＝＋6×（－） ← 由左而右，先乘除後加減。 231＝－
2232510）÷＝（－）×＝－。 35339◎比例（1下3-1、3-2、3-3）
▽① 比的前項、後項與比值：
a、b（b≠0）兩數的比為a：b，a稱為前項，b稱為後項，
aa其比值為a÷b＝，表示a是b的倍。
bb333：5的前項是3，後項是5，比值是，表示3是5的倍。 55▽② 最簡整數比：
一個比如果前項、後項為互質的兩個整數，稱為最簡整數比。 4：7是最簡整數比，6：8不是最簡整數比。
(1) a：b＝c：d稱為比例式。（b、d皆不等於0）
(2)比例式a：b＝c：d中，a、d稱為外項，b、c稱為內項，則ad＝bc， 即外項乘積等於內項乘積。
外項 2：3＝4：6 2 × 6 ＝ 3 × 4 （外項乘積） （內項乘積）
內項
▽③ 比例式、內項與外項：
▽④ 比例式的應用：
5
108国中数学3下国中所学的数学概念-数与量[7页]
