國中所學的數學概念 - 數與量
◎整數與數線(1上1-1、1-2、1-3)
▽① 正數與負數:
比0大的數稱為正數,比0小的數稱為負數;0不是正數,也不是負數。
12、3.2為正數;-、-4為負數。 5▽② 數線:
(1)數線的基本要素:原點、正向(箭頭)、單位長。 (2)數線上向右為正向,愈右邊的點所代表的數愈大, 愈左邊的點所代表的數愈小。
12在數線上標示出A(-0.5)、B(3)、C(-2)、D(1)四點。 43
由大到小排列為:3>1
21>-0.5>-2。 34▽③ 三一律與遞移律:
(1)三一律:比較a、b兩數大小關係時,a=b、a>b、a<b三種情形恰有一種會
成立。
1如果a=b且b=c,則a=c。 (2)遞移律:有a、b、c三個數,○
2如果a>b且b>c,則a>c。 ○
3如果a<b且b<c,則a<c。 ○
(1) 7>5且5>2,則7>5>2。(2)-8<-4且-4<-2,則-8<-4<-2。
▽④ 相反數:
(1)在數線上,位於原點兩側且與原點距離相等的兩個點,所代表的數互為相反數。
(2)不論a為正數或負數,a與-a互為相反數;0的相反數是0。
因為3與-3位於原點左右兩側且與原點距離相等,所以3與-3互為相反數。
▽⑤ 絕對值:
(1)一個數的絕對值,就是在數線上,代表這個數的點與原點的距離。
∣-6∣表示在數線上「-6」這個數的點與原點的距離。 (2)互為相反數的兩數,其絕對值相等,即∣a∣=∣-a∣。 (3) a為任意數,∣a∣會大於或等於0。
∣-4∣=∣4∣=4;∣-2∣>0;∣0∣=0。
▽⑥ 數線上兩點間的距離:
數線上,A(a)、B(b)兩點間的距離記作AB,AB=∣a-b∣或∣b-a∣。
如果A(5)、B(-2)為數線上兩點,則AB=∣5-(-2)∣=7或
∣(-2)-5∣=7。
1
▽⑦ 整數的運算:
1交換律:如果a、b為任意兩個整數,則a+b=b+a。 (1)加法:○
3+(-2)=(-2)+3=1。
2結合律:如果a、b、c為任意三個整數,則(a+b)○+c=a+(b+c)。
(7+4)+(-5)=7+〔4+(-5)〕=6。
(2)減法:減去一個數就相當於加上這個數的相反數。
(1)(-5)-3=(-5)+(-3)=-8。 (2) 4-(-2)=4+2=6。
相反數
相反數
1偶數個負數相乘,其乘積為正數;奇數個負數相乘,其乘積為負數。 (3)乘法:○
(1) 3×(-2)×(-1)×5=30為正數。 (2)(-1)×(-2)×(-3)×5=-30為負數。
2交換律:如果a、b為任意兩個整數,則a×b=b×a。 ○
5×(-4)=(-4)×5=-20。
3結合律:如果a、b、c為任意三個整數,則(a×b)○×c=a×(b×c)。
〔3×(-7)〕×2=3×〔(-7)×2〕=-42。
4乘法對加、減法的分配律:如果a、b、c為任意三個整數,則 ○
(a+b)×c=a×c+b×c;c×(a+b)=c×a+c×b, (a-b)×c=a×c-b×c;c×(a-b)=c×a-c×b。
(1) 101×25=(100+1)×25=100×25+1×25=2525。 (2) 99×25=(100-1)×25=100×25-1×25=2475。
(4)除法:兩個同號數相除,其結果為正數;兩個異號數相除,其結果為負數。
(1) 24÷8=3,(-24)÷(-8)=3。 (2)(-24)÷3=-8,24÷(-3)=-8。
◎指數律與科學記號(1上1-4、1-5、2-4)
▽① 指數律:
如果a、b皆是不等於0的數,m、n是兩個不為負的整數,則
n
(1) am×an=am+n。 (2) am÷an=am-n。 (3)(am)=am×n。
242+46
3×3=3=3。
m
(4)(a×b)=am×bm。
5
(3×4)=35×45。
525-23
3÷3=3=3。
4
(32)=32×4=38。
maamm
(5)(a÷b)=()=m=am÷bm。
bb4
(6÷3)=64÷34=24。
▽② 指數為0與負整數:
(1)如果a是不等於0的整數,則a0=1。
0
(-3)=1。
2
(2)如果a是不等於0的整數,n是任意正整數,則a-n
=
1an。 -2
1
4=42=116。 ▽③ 科學記號表示法:
以a×10m表示一個數,其中1?a<10,m為整數,此種記錄方法稱為科學記號 表示法。
6
(1) 1750000以科學記號可表示為1.75×10。 1?1.75<10 (2) 0.000045以科學記號可表示為4.5×10-5。 1?4.5<10
▽④ 科學記號的比較大小:
比較兩個以科學記號表示的數a×10m與b×10n的大小,
(1)如果m>n,則a×10m>b×10n。(10的次方越大,其值越大)
6
4
2.3×10>5.6×10。
(2)如果m=n,且a>b,則a×10m>b×10n。
6
7.2×10>3.8×106
。
◎最大公因數與最小公倍數(1上2-1、2-2)
▽① 因數與倍數:
如果a、b、c為任意三個正整數,而且a÷b=c,亦即a=b×c,則 (1) b、c是a的因數。(2) a是b、c的倍數。
180÷30=6,亦即30×6=180,則
(1) 30與6是180的因數。(2) 180是30與6的倍數。
▽② 倍數的判別法:
(1) 2的倍數:個位數字是0、2、4、6或8。 12、124、236。 (2) 3的倍數:各位數字和是3的倍數。 21、153、312。 (3) 4的倍數:末兩位數字是4的倍數。 48、128、236。 (4) 5的倍數:個位數字是0、5。
30、145、225。
(5) 9的倍數:各位數字和是9的倍數。 36、171、261。(6) 11的倍數:「奇數位數字和」與「偶數位數字和」的差是
11的倍數(包含0)。
44、132、286。
▽③ 質數與合數:
(1)一個大於1的整數,只有1和它本身兩個因數,則稱此數為質數。
(2)一個大於1的整數,除了1和它本身之外,還有其他因數,則稱此數為合數。
2、3、5、7、11、13是質數。
4、6、8、9、10、12是合數。
(3) 1不是質數,也不是合數;2是最小的質數,也是質數中唯一的偶數。
3
▽④ 質因數:
如果a是質數,且a是b的因數,就稱a為b的質因數。
6的因數有1、2、3、6,其中2、3是質數,所以2與3是6的質因數。
▽⑤ 互質:
如果兩數的最大公因數為1,則稱兩數互質。
(8 , 15)=1,所以8與15互質。
▽⑥ 利用標準分解式求大公因數與最小公倍數:
(1)求a、b的最大公因數時,可先求出a和b的標準分解式,找出兩者共同的質因數, 由共同質因數中,分別取指數(次方)最小者相乘,即為a和b的最大公因數。 (2×3×5 , 2×3×7)=2×3。
(2)求a、b的最小公倍數時,可先求出a和b的標準分解式,找出兩者全部的質因數, 再把兩者所有質因數中,分別取指數(次方)最大者相乘,即為a和b的最小公倍 數。
〔2×3×5 , 2×3×7〕=2×3×5×7。
2
4
2
3
3
3
4
2
2
4
2
3
3
2
3
◎分數(1上2-3、2-4)
▽① 最簡分數:
一個分數,如果分子與分母互質,則稱此分數為最簡分數。 22的分子2和分母7互質,所以是最簡分數。 77▽② 指數的比較大小:
(1)當a>1,n愈大,則an的值會愈大。 383736()>()>()。 222(2)當0<a<1,n愈大,則an的值會愈小。
181716()<()<()。 555▽③ 倒數:
當兩個數的乘積為1時,稱這兩個數互為倒數。 2323×=1,則與互為倒數。 3232▽④ 分數的運算:
(1)異分母分數的加減:當進行異分母分數的加減時,通常先依分母的最小公倍數將
它們通分,再進行同分母分數的加減運算。
2143-+=-+ ←〔2 , 3〕=6 32661=-。
6(2)正負分數的除法:可用「除以一個數等於乘以它的倒數」的方法,將分數除法改
為分數乘法再計算。
4
(-
3 除數的倒數
5
(3)正負分數的四則運算:
1在混合算式中,如果含有指數的運算,則應先做完指數的運算,然後由左而右, ○
先算乘除,後算加減。 59332×(-2)+÷() 12425927=×4+÷ ← 先做完指數的運算。 1248598=+× ← 由左而右,先乘除後加減。 34277= 32當有括號或絕對值時,應優先計算括號或絕對值內的算式。 ○
13∣3×1∣+6÷(-) 6273=+6÷(-) ← 先計算絕對值內的算式。 2272=+6×(-) ← 由左而右,先乘除後加減。 231=-
2232510)÷=(-)×=-。 35339◎比例(1下3-1、3-2、3-3)
▽① 比的前項、後項與比值:
a、b(b≠0)兩數的比為a:b,a稱為前項,b稱為後項,
aa其比值為a÷b=,表示a是b的倍。
bb333:5的前項是3,後項是5,比值是,表示3是5的倍。 55▽② 最簡整數比:
一個比如果前項、後項為互質的兩個整數,稱為最簡整數比。 4:7是最簡整數比,6:8不是最簡整數比。
(1) a:b=c:d稱為比例式。(b、d皆不等於0)
(2)比例式a:b=c:d中,a、d稱為外項,b、c稱為內項,則ad=bc, 即外項乘積等於內項乘積。
外項 2:3=4:6 2 × 6 = 3 × 4 (外項乘積) (內項乘積)
內項
▽③ 比例式、內項與外項:
▽④ 比例式的應用:
5
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