（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．
3，CD＝5，AD＝12．请在图424．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下： 使用次数 人数 0 1 5 1 10 4 15 3 20 1 （1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 次，众数是 次，平均数是 次．
（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）
（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
25．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C B C A C D B D 二、填空题 13．80°． 14．3 15．A C 1+5. 216．8075 17．18．
40 31 5三、解答题
19．（1）详见解析；（2）【解析】
2? 3【分析】
（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC； （2）根据圆周角定理得出BE⊥AC，证得BE∥DF，即可根据三角形相似求得EC=2，根据三角形中位线的性质得出AC=4，即可得出AE=EC，进一步证得△ABC是等边三角形，即可得出∠BOD=60°，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】
（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF＝90°． ∵BD＝CD，OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，
∴∠CFD＝∠ODF＝90°， ∴DF⊥AC． （2）连接BE， ∵AB是直径， ∴BE⊥AC， ∵DF⊥AC， ∴
FCCD1??， ECBC2∵FC＝1， ∴EC＝2， ∵OD＝
1AC＝2， 2∴AC＝4， ∴AE＝EC＝2， ∴AB＝BC， ∵AB＝AC＝4， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵OD∥AC，
∴∠BOD＝∠BAC＝60°，
?的长：∴BD【点睛】
60??22??． 1803本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的
关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△ABC是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键． 20．（1）见解析； （2）BE＝2． 【解析】 【分析】
（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△DCF（SAS），进而求出BE＝FC，BE∥FC，即可得出答案；
（2）直接利用菱形的性质得出△EBC是等边三角形，进而得出答案． 【详解】
（1）证明：在△ABE和△DCF中，
?AB?DC???A??D， ?AE?DF?∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴BE∥FC，
∴四边形BFCE是平行四边形； （2）当四边形BFCE是菱形， 则BE＝EC， ∵AD＝5，DC＝∴BC＝2，
∵∠EBD＝60°，EB＝EC， ∴△EBC是等边三角形， ∴BE＝2． 【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质，正确掌握菱形的性质是解题关键． 21．
3，AB＝DC， 22a；-1. a?b【解析】 【分析】
将代数式括号中的先进行通分后，利用提公因式对分子进行因式分解，平方差公式对分母进行因式分解来化简，最后代入a，b的值计算. 【详解】 解：原式＝
(2a?b)(a?b)?b(a?b)a?2b÷
(a?b)(a?b)a?b2a2?4aba?b?＝
(a?b)(a?b)a?2b＝＝
2a(a?2b)a?b?
(a?b)(a?b)a?2b2a ， a?ba＝3=
-1
10
，b＝(﹣2)＝1， 3当a＝
12a，b＝1时，原式＝=3a?b1?132?13＝﹣1．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，注意本题类型题不要出现符号计算错误即可. 22．（1）见解析；（2）BE＝【解析】 【分析】
（1）由题意可得AD=BD，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC，由“ASA”可证△BDF≌△ADC；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC，由三角形的面积公式可求BE的长度. 【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45° ∴∠ABC＝∠BAD＝45°， ∴AD＝BD， ∵DA⊥BC，BE⊥AC
∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°
∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90° ∴△BDF≌△ADC（ASA） （2）∵△BDF≌△ADC
∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC ∴BF＝BD2?DF2 ＝5 ∴AC＝5， ∵S△ABC＝
28. 511×BC×AD＝×AC×BE 22∴7×4＝5×BE ∴BE＝
28. 5【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE的长度. 23．（1）作图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）BD?【解析】 【分析】
（1）由等边三角形的性质可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，可得∠DAC＝∠BAE，即可证△DAC≌△BAE，可得BD＝CE； （2）通过证明△ADE∽△ABC，可得
ABAD?，由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，即可得结论； ACAE1517 . 4（3）过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，通过证明△AEC∽△ADB，可得
CEAC? ，由锐角三角函数和勾股定理可求AE，DE，EC的长，即可求BD的长． BDAB【详解】
（1）作图
∵△ABD和△ACE都是等边三角形
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE ∴△DAC≌△BAE（SAS） ∴BE＝CD （2）如图，
在第一个图中，∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴
ABAD? ACAE∵将三角形ADE旋转一定的角度 ∴∠BAC＝∠DAE ∴∠BAD＝∠CAE，且∴△ABD∽△ACE；
（3）如图，过点A 作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，
ABAD? ACAE
∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90° ∴△AED∽△ACB ∴
AEAC? ADABAEAC? ADAB∵∠CAB＝∠DAE＝90° ∴∠CAE＝∠DAB，且∴△AEC∽△ADB ∴
CEAC? BDAB
(精选3份合集)2020湖南省湘潭市第二次中考模拟考试数学试卷
