小题的结论仍然成立．
（3）若把正方形ABCD改为正三角形ABC，（如图2），O为正△ABC的中心，以O为顶点的扇形OB′C′绕点O无论怎样转动，要使它与正△ABC的重叠部分的面积总是保持不变，问扇形OB′C′应该满足什么条件？试说明你的理由．
【分析】（1）设OC′于CD交于E，QA′于BC交于F，根据余角的性质得到∠DOE＝∠COF，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据题意得出结论即可；
（3）连结OB、OC，根据角的和差得到∠BOE＝∠COF，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设OC′于CD交于E，QA′于BC交于F， ∵∠DOC＝∠C′OD＝90°，
∴∠DOE+∠COE＝∠COF+∠COE＝90°， ∴∠DOE＝∠COF，
在△DOE与△COF中，
∴△DOE≌△COF（ASA）， ∴S△DOC＝S四边形EOFC＝S； 故答案为：S；
（2）将正方形A′B′C′O改为其它较大的图形，该图形只要满足条件∠A′OC′＝90°时，第（1）小题的结论仍然成立；
故答案为：∠A′OC′＝90°； （3）圆心角∠B′OC′＝120°， 证明：连结OB、OC，
由∠BOC＝∠B′OC′＝120°， ∴∠BOE＝∠COF，
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在△BOE与△COF中，∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴S四边形OECF＝S△BOC＝S△ABC，
，
故当∠B′OC′＝120°，不论扇形O B′C′怎样转动，重叠部分的面积总等于S△ABC．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 八、（本题9分）
28．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90o，AB＝AC，BC＝8
cm，大圆的圆心在A点，半径为2cm，大圆以
1cm/s的速度移动（圆心从A点出发，沿A﹣B﹣C﹣A方向移动，圆心始终在Rt△ABC边上），设运动时间为t（s）．
（1）当大圆与AC边相切时，求t的值；
（2）如果一个小圆的圆心在C点，半径为1cm，它与大圆同时出发，以2cm/s的速度沿C﹣A﹣B﹣C方向移动，当一个圆的圆心到达其出发点时，另一个圆也停止移动（如图2）． ①当两圆 相切时，它们的圆心都同时在 D
A．AC边上 B．AB边上 C．BC边上 D．AB和BC边上 ②当两圆相切时，求t的值．
【分析】（1）分两种情况考虑，当大圆与AC相切时，由切线的性质及相似三角形的性质可求出t的值； （2）①由题意知当两圆相切时，有内切和外切两种情况，它们的圆心不可能在AC上，则应在AB或BC上； ②当两圆在AB上运动时有外切和内切两种情况，当两圆运动到BC上时也有内切和外切两种情况，画出图形，
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由相切两圆的性质可求得t的值．
【解答】解：（1）如图1，当O1A＝2时，大圆与AC相切， ∴t＝2，
如图2，大圆⊙O1与AC相切于点D，连O1D，则O1D⊥AC，
∴O1D∥AB， ∴△ABC∽△DO1C， ∴
，
cm，
∵∠A＝90o，AB＝AC，BC＝8∴AB＝AC＝8cm， ∵O1D＝1，∴解得：
， ；
，
综合可得t＝2或t＝时，大圆与AC边相切；
（2）①由题意知当两圆相切时，有内切和外切两种情况，它们的圆心不可能在AC上，在AB或BC上两圆相切， 故选：D．
②当两圆相切时共有四种情况：
如图3，当大圆⊙O1与小圆⊙O2在AB上外切时， O1A＝t，O2A＝2t﹣8， ∴2t﹣8+1+2＝t， 解得：t＝5s，
如图4，当大圆⊙O1与小圆⊙O2在AB上内切时，
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O1A＝t，O2A＝2t﹣8， ∴t﹣（2t﹣8）＝2﹣1， 解得：t＝7s，
如图5，当大圆⊙O1与小圆⊙O2在BC上内切时， O1B＝t﹣8，OO2B＝2t﹣16， ∴（2t﹣16）﹣（t﹣8）＝2﹣1， 解得：t＝9s，
如图6，当大圆⊙O1与小圆⊙O2在BC上外切时，
O1B＝t﹣8，OO2B＝2t﹣16， ∴（2t﹣16）﹣（t﹣8）＝2+1， 解得：t＝11s，
综合以上可得t＝5、7、9、11s时，两圆相切．
【点评】此题主要考查了相切两圆的性质以及相似三角形判定和性质的应用，根据已知利用切线的性质和相关知识是解题关键．注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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19年中考数学模拟试卷·江苏省南京一中（3月）
