谢发嫣 线性规划在实际生活中的应用

“线性规划在实际生活中的应用”教学案例

谢发嫣

1 教学设计

1.1 教学内容分析

“线性规划”是高二数学上第七章第4节的内容。

这节课是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，是新教材改编之后增加的一个新内容。在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何巧妙安排，用最少的资源取得最大的效益，这是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用。

本节课是在学习了简单的线性规划后，对其知识的实际应用。渗透了数形结合的数学思想，为学生解决实际问题提供了良好素材。

1.2 教学情境设计 本节课采用“情境—问题”教学模式教学。由于高二的学生已有一定的理性思维高度，抓住他们好奇求胜的心理，用贴近生活的实例作为问题情境引入教学内容，借以激发学生的兴趣和求知欲。再适当的设置疑问，促使学生通过自己的努力解决问题。

设计的思路是创设一个学生感兴趣的数学情境，启导学生逐步将现实问题转化（抽象、概括）成数学问题。在解决数学问题的过程中，要求学生自主探索、交流合作，并在教师的启发诱导下，师生共同归纳直至得出最佳答案。

问题情境：

假设我现在是一个工厂的老板，你们是来工厂应聘的人，一共有48人应聘，但公司只招聘一人，于是我就出了一道考题来招收新人。 提出问题：（课本中的例子）

现在工厂要生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1t需耗费A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗费A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t。每1t甲产品的利润是600元，每1t乙产品的利润是1000元。工厂在这两种产品的计划种要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过363t。问：甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？ 1.3 课堂教学目标

（1） 会用线性规划的知识解决一些比较简单的实际问题；

（2） 培养学生观察、分析和作图能力，渗透数形结合的数学思想，提搞学生解决实际问题的能力；

（3） 培养学生学习数学的兴趣和用数学的意识。 1.4 教学重难点

重点：把实际问题转化为线性规划问题，即数学建模。 难点：建立数学模型，寻找最优解。 1.5教学方法

诱导启发，探究互动式数学方法。 1.6课前准备

教师：两个刻度的三角板、彩色粉笔。

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学生：铅笔、直尺、橡皮擦等。

2. 教学过程

2.1 引入情境问题 师：我们在学校所学的知识就是要在社会生活中有所用途，每门学科的知识在生活中都有很多的用途，而数学知识的应用更为广泛，随处都能用到。在前面我们刚学习了线性规划，它在实际生活中的用处是什么呢？首先我们来看看下面的一个问题情境：

假设我现在是一个工厂的老板，你们是来工厂应聘的人，一共有48人应聘，但公司只招聘一人，于是我就出了一道考题来招收新人。

提出问题：（课本中的例子）

现在工厂要生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1t需耗费A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗费A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t。每1t甲产品的利润是600元，每1t乙产品的利润是1000元。工厂在这两种产品的计划种要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过363t。问：甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？

（1） 启发学生解决问题 对于班级的学生来说，要从题目很长的文字和众多的数据中建立一个人数学模型是有一定困难的。要解决这个难点关键是引导学生提供列表的形式把问题中的已知条件和数据教学整理，教师先列出一个空表让形式来填写内容，这样形式在过程中能理清题意，把实际问题逐渐转化为数学问题。 师： 产品 消耗量 甲产品(t) 乙产品(t) 资源限额(t) 资源 A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t) 利润(元) 学生： 产品 消耗量 甲产品(t) 资源 A种矿石(t) B种矿石(t) 煤(t) 10 5 4 乙产品(t) 资源限额(t) 4 4 9 300 200 363 2

利润(元)

600 1000 （2） 学生讨论、建立数学模型 教师提出问题:

如果用线性规划的思想解决问题，如何寻找本题的约束条件及目标函数？ 学生甲：设甲、乙两种产品各生产xt、yt时利润最大。 学生乙：设甲、乙两种产品各生产xt、yt时利润为z。 (教师对其错误教学纠正) 模型：

?10x?4y?300?5x?4y?200??线性约束条件：?4x?9y?363

?x?0???y?0线性目标函数： Z=600x+1000y

要解决所给出的问题就是要求Z的最大值。 （3） 模型求解（画图，寻找最优解） 在这个环节里，学生在草稿纸上作图，教师进行巡视，对学生画图出现的错误留心观察，然后把暴露出的问题进行讲解。

教师在黑板上进行画图展示

从图形中可以看出阴影部分（含边界）就是约束条件所表示的区域，当在M点时Z取最大值。 （4） 归纳方法

讲解完情境中的问题后，引导学生进行归纳总结。 简单线性规划的实际应用问题的求解步骤：

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1） 将已知数据列成表格的形式，设出变量x,y和z； 2） 找出线性约束条件和线性目标函数； 3） 作出可行域，并结合图象求出最优解； 4） 按题意作答。 2．2 巩固练习

咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g；乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g。已知每天原料的使用限额为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g。如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？

评：通过前面问题的讲解，学生对如何用线性规划知识解决生活中的一些简单

问题有了一定的认识，该环节的设置不仅可以起到巩固新知识、新方法，提高学生动手的能力的作用，还有助于发现和弥补教学中的不足以便及时矫正。同时更重要的是让学生加深对数学建模思想的理解，体会建模的全过程。 2.3 小结

其实在我们的生活中存在很多的数学知识，今天我们就是利用所学的数学知识来解决实际中的问题。在实际的生产生活中有许多问题都可以归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题，第一类,给定一定数量的人力、物力资源怎样安排使完成的任务量最大、收益最高；第二类，给定一项任务问怎样安排能使人力、物力资源量最小。今天我们讨论了第一类情况，请同学们在课后思考第二类情况应怎样解决。希望同学们做生活的有心人，继续去发现生活中的数学问题。

3．教学反思

这节课是学习“线性规划在实际生活中的应用”的第一节课。教师运用情境教学的模式，立足于所设计的情境，从解决问题的需要出发，把学生引入情境—问题中，再启发学生从情境—问题中邹出来建立数学模型，通过自己的思考，自己探究动手对模型进行求解等一系列具体的教学活动。

创设数学情境是“情境—问题”教学的基础，教师在创设数学情境时，需对学生的心理特点、知识水平、接受能力、教学内容、教学需要、教学目标等因素进行综合考虑，把身边的实际生活例子搬进课堂，激发学生的兴趣。岁设计的情境进行分析，选择具有较好教育和教学功能的情境。

“线性规划”这节课，它的实用性比较强，所以在课堂应用实际的案例来激发和引导学生的学习兴趣，使学生快乐的学习数学。本节课以学生为起点，学生活动为主要线索的课堂教学，充分调动学生的积极性，树立学习自信心，激发学生的好奇心和求知欲。这节课的重点在于培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，让学生体验科学探究的全过程及科学方法，并将知识应用于生产生活中，体会数学的有用性。在教学过程中发现学生思维活跃，能提出许多问题，学生能独立完成老师提出的问题。

在整节课当中，我发现学生的动手能力不是很强，图形画得不是很精确，语言的表达不是很严谨准确，这样就影响了知识的接受效果，教师在上课过程中应注重学生的实际应用能力、动手能力，让学生把数学知识很有效、很轻松地运用到实际生活中。

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