4?5：不等式选讲]（10分）
a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
）
1a?1b?1c?a2?b2?c2； ）(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24．
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12B-SX-000002223．[选修已知（1（2
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 全国I卷 参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D
6．C 7．D 8．B
9．A
10．D 11．A
12．B
二、填空题 13．y=3x 14．
58 15．?4
16．2
三、解答题 17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050?0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为3050?0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）K2?100?(40?20?30?10)250?50?70?30?4.762． 由于4.762?3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：
（1）设?an?的公差为d．
由S9??a5得a1?4d?0．
由a3=4得a1?2d?4．
于是a1?8,d??2．
因此
?an?的通项公式为an?10?2n．
（2）由（1）得a1??4d，故an?(n?5)d,Sn(n?9)dn?2.
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由a1?0知d?0，故Sn…an等价于n2?11n?10?0，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是{n|1剟n10,n?N}．
19．解：
（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME ∥ B1C，且
ME?12B又因为N为A1D的中点，所以ND?11C.2A1D. 由题设知AB11∥=DC，可得BC1∥=A1D，故ME∥=ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE. （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得DE?BC，DE?C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离， 由已知可得CE=1，C171C=4，所以C1E?17，故CH?417. 从而点C到平面C1DE的距离为
41717.
20．解：
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（1）设g(x)?f?(x)，则g(x)?cosx?xsinx?1,g?(x)?xcosx. 当x?(0,π)时，g?(x)?0；当x?π?π2???2,π??时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,2)
单调递增，在??π?2,π???单调递减.
又g(0)?0,g??π??2???0,g(π)??2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点. 所以f?(x)在(0,π)存在唯一零点. （2）由题设知f(π)…aπ,f(π)?0，可得a≤0. 由（1）知，f?(x)在(0,π)只有一个零点，设为
x0，且当x??0,x0?时，
f?(x)?0；当x??x0,π?时，f?(x)?0，所以f(x)在?0,x0?单调递增，
在
?x0,π?单调递减.
又f(0)?0,f(π)?0，所以，当x?[0,π]时，f(x)…0. 又当a?0,x?[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax. 因此，a的取值范围是(??,0]. 21．解：（1）因为eM过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在
直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y?x上，故可设M(a, a).
因为eM与直线x+2=0相切，所以eM的半径为r?|a?2|.
由已知得|AO|=2，又uMOuuur?uAOuur，故可得2a2?4?(a?2)2，解得a=0或a=4.
故eM的半径r=2或r=6.
（2）存在定点P(1,0)，使得|MA|?|MP|为定值. 理由如下：
设M(x, y)，由已知得eM的半径为r=|x+2|,|AO|=2. 由于uMOuuur?uAOuur，故可得x2?y2?4?(x?2)2，化简得M的轨迹方程为
- 15 - y2?4x.
因为曲线C:y2?4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x??1为准线的抛物线，
所以|MP|=x+1.
因为|MA|?|MP|=r?|MP|=x+2?(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.
22．解：（1）因为?1?1?t21?t2?1，且x2???y?2?2?????1?t2?2?1?t2???4t2??1，所以1?t2?2C的直角坐标方程为x2?y24?1(x??1). l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.
（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,y?2sin?（?为参数，?π???π）.
??π?C上的点到l的距离为|2cos??23sin??11|4cos?????117??3?7.
当???2π?π?3时，4cos????3???11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小
值为7.
23．解：（1）因为a2?b2?2ab,b2?c2?2bc,c2?a2?2ac，又abc?1，故有
a2?b2?c2?ab?bc?ca?ab?bc?caabc?111a?b?c.
所以
1a?1b?1c?a2?b2?c2. （2）因为a, b, c为正数且abc?1，故有
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a)3?33(a?b)3(b?c)3(a?c)3 (2ac)
?(c?a)3?24.
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(a?b)3?(b?c)3?(c?=3(a+b)(b+c)(a+c)
?3?(2ab)?(2bc)?=24. 所以(a?b)
3?(b?c)3 12B-SX-0000022
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（完整）2019年高考文科数学全国1卷（附答案）(3) - 图文
