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2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
2
（1） 若lim(ex ? ax2 ? bx) x
1
x?0
? 1,则（
）
1 1 (B) a ? ? , b ? ?1 ( A) a ? , b ? ?1
2 2 1 1
(C) a ? , b ? 1 (D) a ? ? , b ? 1
2 2
【答案】B
（2） 下列函数中,在 x ? 0 处不可导是（
）
( A) f ( x) ? x sin x (C) f (x) ? cos x
【答案】D
?B? f ( x) ? x sin
x
?D? f ( x) ? cos x
?2 ? ax x ? ?1 ??1 x ? 0
?x ， g( x) ? ?? 1 ? x ? 0 ,若 f ( x) ? g( x) 在 R 上连续,则（ ） （3） 设函数 f ( x) ? ??
?1 x ? 0
? x ? b x ? 0 ( A) a ? 3,b ? 1
(B) a ? 3, b ? 2
(C) a ? ?3, b ? 1 (D) a ? ?3, b ? 2
【答案】D
（4） 设函数 f ( x) 在[0,1]上二阶可导,且
?1
0
f ( x)dx ? 0 ,则
1
2
（A）当 f ?( x) ? 0 时,
（C） 当 f ?( x) ? 0 时,
1 ? 0 f ( ) 2
1 f ( ) ? 0 2
（B）当 f ??(x) ? 0 时, f ( ) ? 0
（D） 当 f ?( x) ? 0 时,
1 ? 0 f ( ) 2
【答案】D
?
（5） 设 M ?
2 ? ?
(1 ? x)2 dx , N ? 1 ? x
2
2 2
?1 ? x2 dx , K ? e 2 ?
2 (1 ?
?
?x
?2
?
2
cos x ) dx ,则 M , N , K 的大小关系为
（A） M ? N ? K （B） M ? K ? N （C） K ? M ? N （D） K ? N ? M 【答案】C
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（6） ?
? dx ??
?1
0 2? x2 1 2? x2
? x
(1 ? xy)dy ? ?dx x??0
（B） (1 ? xy)dy ??
（C） （A） 5 3
5 6
7 3
（D） 7 6
【答案】C
? 1 1 0??
? ? （7） 下列矩阵中,与矩阵0 1 1 相似的为 ? 0 0 1 ??? ??
? 1 1 ?1???? 1 0 ?1?? ? 1 1 ?1?? ? 1 0 ?1???????( A) 0 1 1 (B) 0 1 1 (C) 0 1 0 (D) 0 1 0
????????????????? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ??? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
【答案】A
（8） 设 A, B 为 n 阶矩阵,记 r( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X Y ) 表示分块矩阵，则
（A） r( A AB) ? r( A)
（B） r( A BA) ? r( A) （C） r( A B) ? max{r( A), r(B)}
（D） r( A B) ? r( AT BT )
【答案】A
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) lim x2[arctan( x ? 1) ? arctan x] ?
x????
?
?
?
y ? x2 ? 2 ln x 在其拐点处的切线方程是 (10) 曲线
(11)
??
??
5
dx ? x2 ? 4x ? 3 ? x ? cos3 t
在t ??
1
?
(12) 曲线
对应点的曲率为
3?? y ? sin t
4
1 ??
( 2, )
2
?z
（13） 设函数 z ? z( x, y) 由方程ln z ? ez?1 ? xy 确定，则 ?x
（14） 设 A 为 3 阶矩阵，
1,2 ,3 为线性无关的向量组，若
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A1 ? 21 ?2 ?3 , A2 ? 2 ? 23 , A3 ? ?2 ?3 ，则 A 的实特征值为
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【答案】2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15（本题满分 10 分）求不定积分e2 x arctan （16）（本题满分 10 分）已知连续函数 f ( x) 满足
?
ex ? 1dx 2
??f (t)dt ? ??tf ( x ? t)dt ? ax，
x
0
0
x
(1)求 f ( x) ，(2) 若 f ( x) 在区间[0,1] 上的平均值为 1,求a 的值
? x ? t ? sin t,
(0 ? t ? 2（17）（本题满分 10 分）设平面区域 D 由曲线??
? y ? 1 ? cos t,
) 与 x 轴围成,计算二重积分
?? ( x ? 2 y)dxdy
D
（18（本题满分 10 分）已知常数k ? ln 2 ? 1.证明( x ? 1)( x ? ln2 x ? 2k ln x ? 1) ? 0
（19）（本题满分 10 分）将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
（20）（本题满分 11 分）已知曲线 L : y ? x2 ( x ? 0), 点 A(0,1). 。设 P 是 L 上的动点， S 是直线OA 与
4
9
直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积。若 P 运动到点（3，4）时沿 x 轴正向的速度是 4，求此时 S 关于时间 t 的变化率。
（21）（本题满分 11 分）设数列{x }满足 x ? 0, x exn ?1 ? exn ? 1(n ? 1, 2,?) 。证明{x }收敛，并求
n 1 n n
lim xn
n???
?
（22）（本题满分 11 分）设实二次型 f ( x , x , x ) ? ( x ? x ? x )2 ? ( x ? x ) ? ( x ? ax )2 其中a
1
2
3
1
2
3
2
3
1
3
为参数(1)求 f ( x1, x2 , x3 ) ? 0 的解(2)求 f ( x1, x2 , x3 ) 的规范形
? 1 2 a ??
?（23）（本题满分 11 分）已知a 是常数,且矩阵 A ? 1 3 0 ? 可经初等变换化为矩阵 ? 2 7 ?a ??? ??? 1 a 2 ??
B ? ? 0 1 1 ??
? ?1 1 1 ??? ??
(1)求a (2)求满足 AP ? B 的可逆矩阵 P
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( 3
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