高三数学专题练习 理科函数与导数 1．已知函数f(x)满足：f(x)?2f?(x)?0，那么下列不等式成立的是（ ） A．f(1)?f(0)e B．f(2)?f(0) eC．f(1)?ef(2) D．f(0)?e2f(4) 2．已知函数f(x)?x?sinx(x?R)，且f(y2?2y?3)?f(x2?4x?1)?0，则当y?1时，围是________． 3．定义在(0,??)上的函数f(x)满足：①当x?[1,3)时，f(x)?1?|x?2|； y的取值范x?1②f(3x)?3f(x)．设函数F(x)?f(x)?2的零点从小到大依次为x1，x2，…xn，…(n?N*)． 则x1?x2?x3?x4?...?x2n?1?x2n?________． 4．已知f?(x)为函数f(x)?ex?e?x?mx2?2的导函数. （Ⅰ）若m?1，求f?(x)的零点个数； （Ⅱ）若对任意的x?R，f(x)?0恒成立，求实数m的取值范围. xlnx?a(a?0)． x?1（Ⅰ）当x?(0,1)时，求f(x)的单调性；
5．已知函数f(x)?（Ⅱ）若h(x)?(x2?x)?f(x)，且方程h(x)?m有两个不相等的实数根x1，x2．求证：x1?x2?1．
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高三数学专题练习 理科函数与导数 答 案 1．A ?13?2．?,? ?44?3．6(3n?1) 4．解：（Ⅰ）化简可得f(x)?sin2x?3sinxcosx?1 2131?(1?cos2x)?sin2x?22231 ?sin2x?cos2x22π?sin(2x?)6ππ3ππ5π由2kπ??2x??2kπ?可得kπ??x?kπ?， 26236π5π∴f(x)的单调区间为[kπ?,kπ?](k?Z)； 36π（Ⅱ）由（1）知f(x)?sin(2x?)， 6ππ11π当x?(0,π)时，??2x??， 666πππ结合正弦函数的图像，当2x??，即x?时，f(x)取得最大值， 623∵f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值， π， 3在△ABC中，由余弦定理可得a2?b2?c2?2bccosA， ∴A?即12?b2?16?2?4b?， 解得b?2， ∴△ABC的面积S?bcsinA?5．解：（Ⅰ）f?(x)?lnx?x?12121π?2?4sin?23． 231?lnx?1 xx?1时，f?(1)?1，f(1)?0， 故f(x)在x?1处的切线方程是：y?x?1， 2 / 5
?y?x?1 联立?2?y??x?ax?2?2消去y得：x?(1?a)x?1?0，
2由题意得：△?(1?a)?4?0，
解得：a?3或?1；
（Ⅱ）由（1）得：f?(x)?lnx?1，
1x?(0,)时，f?(x)?0，f(x)递减，
e1x?(,??)时，f?(x)?0，f(x)递增，
e1111①0?t?t??，即0?t??时，
4ee4111f(x)min?f(t?)?(t?)ln(t?)，
44411111②0?t??t?，即??t?时，
e4e4e11f(x)min?f()??；
ee1111③?t?t?，即t?时，f(x)在[t,t?]递增，
4e4ef(x)min?f(t)?tlnt；
1111?(t?)ln(t?),0?t???44e4?1?111???,??t?；
ee4e?1?tlnt,t??e?综上，f(x)min因此x?(0,??)时，f(x)min???m(x)max恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意x?(0,??)，都有xlnx?1ex2?成立． xee 3 / 5
高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)
