相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下： 2 3 4 5 降雨量（毫米） 1 50 85 115 140 160 快餐数（份） 试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数） 附注：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
【考点】BK：线性回归方程． 【分析】（Ⅰ）找出上述随机数中满足条件的数据，计算对应概率值；
（Ⅱ）计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程，利用回归方程计算x=6时即可．
【解答】解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有 191 271 932 812 393，共5个，
所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为
；
（Ⅱ）由题意可知
，
，
的值
，
；
所以，y关于x的回归方程为：将降雨量x=6代入回归方程得：
．
．
所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．
20．在平面直角坐标系xOy中，设圆x2+y2﹣4x=0的圆心为Q． （1）求过点P（0，﹣4）且与圆Q相切的直线的方程；
（2）若过点P（0，﹣4）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B，以OA、OB为邻边做平行四边形OACB，问是否存在常数k，使得?OACB为矩形？请说明理由． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）设切线方程为：y=kx﹣4，利用圆心到直线的距离等于半径求出k，即可求过点P（0，﹣4）且与圆Q相切的直线的方程；
（2）联立得（1+k2）x2﹣（8k+4）x+16=0，利用韦达定理，结合向量知识，
即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意知，圆心Q坐标为（2，0），半径为2，设切线方程为：y=kx﹣4，
所以，由解得
所以，所求的切线方程为，或x=0；
（2）假设存在满足条件的实数k，则设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得（1+k2）x2﹣（8k+4）x+16=0
∵△=16（2k+1）2﹣64（1+k2）＞0， ∴
，
∴，且y1+y2=k（x1+x2），
∵=（x1+x2，y1+y2），∴，
又=，
要使平行四边形OACB矩形，则=，
所以k=2，∴存在常数k=2，使得平行四边形OACB为矩形．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex． （1）求证：g（x）≥x+1（x∈R）； （2）设h（x）=f（x+1）+g（x），若x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）构造函数u（x）=ex﹣（x+1），求出导函数u'（x）=ex﹣1，根据导函数求出函数的最小值即可；
（2）h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+ex，求出导函数
．求出
=，得出h'（x）在[0，+∞）上递增，对参数a分
类讨论，得出原函数的最小值为1即可． 【解答】（1）证明：令u（x）=ex﹣（x+1），则u'（x）=ex﹣1， 所以x＜0时u'（x）＜0，x＞0时u'（x）＞0， 所以u（x）≥u（0）=0，即ex≥x+1
（2）解：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+ex，
．
因为=，
所以h'（x）在[0，+∞）上递增 ①当a＞2时，h'（0）=2﹣a＜0，
又= 则存在x0∈（0，lna），使得h'（x0）=0．
所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1， 所以h（x）≥1不恒成立，不合题意． ②当a≤2时，
因为h'（0）=2﹣a＞0，所以h'（x）＞0在[0，+∞）上恒成立
即h（x）在[0，+∞）上为增函数，所以h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意． 综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（α是参数）．在以O为极点，x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcosθ﹣3=0．点P是曲线C1上的动点．
（1）求点P到曲线C2的距离的最大值；
（2）若曲线C3：θ=交曲线C1于A，B两点，求△ABC1的面积． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）求得C1的标准方程，及曲线C2的标准方程，则圆心C1到x=3距离d，点P到曲线C2的距离的最大值dmax=R+d=6；
（2）将直线l的方程代入C1的方程，求得A和B点坐标，求得丨AB丨，利用点到直线的距离公式，求得C1到AB的距离d，即可求得△ABC1的面积．
【解答】解（1）曲线C1：（α是参数）．整理得：（x+2）2+（y+1）2=1
曲线C2：ρcosθ﹣3=0，则x=3．
则圆心C1到x=3距离d，d=2+3=5，
点P到曲线C2的距离的最大值dmax=R+d=6； ∴点P到曲线C2的距离的最大值6； （2）若曲线C3：θ=
，即y=x，
，解得：
丨AB丨=
∴C1到AB的距离d=则△ABC1的面积S，S=×∴△ABC1的面积．
==×
，
，，
=．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2． （1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（2）f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式等价于或或
解得：或，∴不等式的解集为或． （2）∵f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，
且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2， ∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．
2019年河北单招文科数学模拟试题（一）[含答案]
