函数与导数专题
1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0)，切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) (2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值，则f?(x0)?0。反之，不成立。 (3)对于可导函数f(x)，不等式f?(x)?0的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 （?0）(4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：?x?If?(x)?0(?0)恒成立 (5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程（若f?(x)为二次函数且I=R，则有??0）。 f?(x)?0在区间I上有实根且为非二重根。(6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f?(x)?0或f?(x)?0在I上恒成立 (7)若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)min?0; 若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)max?0 (8)若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)max?0；若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)min?0. (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若?x?D f(x)?g(x)恒成立则有?f(x)?g(x)?(10)若对?x1?I1、x2?I2 ，f(x1)?g(x2)恒成立，则f(x)min?g(x)max. 若对?x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2),则f(x)min?g(x)min. 若对?x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2)，则f(x)max?g(x)max. （11）已知f(x)在区间I1上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B， 若对?x1?I1,?x2?I2，使得f(x1)=g(x2)成立，则A?B。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f?(x)?0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① lnx?x?1(x?0) ② ln（x+1）?x(x??1) ③ ex?1?x min?0 ④ e?x?1?x ⑤ lnxx?1?(x?1) x?12 ⑥ lnx11??(x?0) 22x22x
考点一：导数几何意义：
角度一 求切线方程
?π?
1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′?4?，f′(x)是f(x)
??
的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0
C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0
解析：选A 由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a＝
?π?ππ??f′4＝3－2sin2＋2cos2＝1.由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线??
的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
角度二 求切点坐标
2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )
A．(0,1) B．(1，－1) C．(1,3)
D．(1,0)
3
解析：选C 由题意知y′＝x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．
角度三 求参数的值
127
3．已知f(x)＝ln x，g(x)＝2x＋mx＋2(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于( )
A．－1 C．－4
1
解析：选D ∵f′(x)＝x，
B．－3 D．－2
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)， 127
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝2x0＋mx0＋2，m<0， 于是解得m＝－2，故选D.
考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。
[典例1]已知函数f(x)＝x2－ex试判断f(x)的单调性并给予证明． 解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减， f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可． 设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 当x＝ln 2时，g′(x)＝0， 当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0， 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.
∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴f′(x)<0恒成立， ∴f(x)在R上单调递减．
[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间． [解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
(完整版)函数与导数专题(含高考试题)
