2.2.3 向量的数乘
[
学生用书P105(单独成册)])
[A 基础达标]
1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是( ) A.a与-λa的方向相反 C.a与λa的方向相同
2
B.|-λa|≥|a| D.|-λa|=|λ|a
解析:选C.当λ取负数时,a与-λa的方向是相同的,选项A错误;当|λ|<1时,|-λa|≥|a|不成立,选项B错误;|-λa|=|λ|a中等号左边表示一个数,而等号右边表示一个向量,不可能相等,选项D错误;因为λ≠0,所以λ一定是正数,故a与λa的方向相同,故选C.
2.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为( )
A.-1或3 C.-1或4
B.3 D.3或4
2
2
解析:选A.因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,且向量a,b是两个不共线的向量,所以m=
-3
,解得m=-1或m=3. 2-m→→→
3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA+OB+OC=0,则( ) →→A.AO=2OD →→C.AO=3OD
→→B.AO=OD →→D.2AO=OD
→→→
解析:选B.因为D为BC的中点,所以OB+OC=2OD, →→→→→→所以2OA+2OD=0,所以OA=-OD,所以AO=OD.
→→
4.设a,b不共线,AB=a+kb,AC=ma+b(k,m∈R),则A,B,C三点共线时有( ) A.k=m C.km+1=0
B.km-1=0 D.k+m=0
→→
解析:选B.若A,B,C三点共线,则AB与AC共线, →→
所以存在唯一实数λ,使AB=λAC,
即a+kb=λ(ma+b),即a+kb=λma+λb,
??λm=1,所以?
?λ=k,?
所以km=1,即km-1=0.
→→→→
5.在△ABC中,若AB+AC=2AP,则PB等于( )
1→3→A.-AB+AC
221→1→C.AB-AC 22
1→3→
B.AB-AC 221→1→D.-AB+AC
22
1→→→1→1→→→→→1→→→→→
解析:选C.由AB+AC=2AP得AP=(AB+AC),所以PB=PA+AB=-(AB+AC)+AB=AB-AC.
22226.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为__________.
??3x-4y=6,
解析:由原式可得?
?2x-3y=3,?
解得?
?x=6,???y=3.
所以x-y=3. 答案:3
7.设a,b是两个不共线的非零向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=________. 解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,
所以ka+2b=λ(8a+kb)?k=8λ,2=λk?k=-4(因为方向相反,所以λ<0?k<0). 答案:-4
→→
8.如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC,若AC=mAB→
+nAD(m,n∈R),则m-n=________.
→→→→→→→→→→→
解析:直接利用向量共线定理,得BC=3DC,则AC=AB+BC=AB+3DC=AB+3(AC-AD)=AB+1→3→1313→→→
3AC-3AD,AC=-AB+AD,则m=-,n=,那么m-n=--=-2.
222222
答案:-2
9.(1)已知3(x+a)+3(x-2a)-4(x-a+b)=0(其中a,b为已知向量),求x;
??3x+4y=a,
(2)已知?其中a,b为已知向量,求x,y.
?2x-3y=b,?
解:(1)原方程化为3x+3a+3x-6a-4x+4a-4b=0. 得2x+a-4b=0,即2x=4b-a. 1
所以x=2b-a.
2
??3x+4y=a,①(2)? ??2x-3y=b,②
21
由②得y=x-b,代入①,
33
?21?得3x+4?x-b?=a. ?33?
84
所以3x+x-b-a=0,17x=4b+3a.
3334
所以x=a+b.
17174?12?3
所以y=?a+b?-b
3?1717?3281=a+b-b 1751323=a-b. 1717
34x=a+b,??1717
综上可得?
23??y=17a-17b.
→→→
10.已知O,A,M,B为平面上四点,且OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠1,λ≠0). (1)求证:A,B,M三点共线.
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
→→→→→→→→→→→
解:(1)证明:因为OM=λOB+(1-λ)OA,所以OM=λOB+OA-λOA,OM-OA=λOB-λOA,→→→→
即AM=λAB,又λ∈R,λ≠1,λ≠0且AM,AB有公共点A,所以A,B,M三点共线.
→→
(2)由第一问知AM=λAB,若点B在线段AM上, →→→→
则AM,AB同向且|AM|>|AB|(如图所示), 所以λ>1.
[B 能力提升]
→→→
1.已知O是△ABC内的一点,且OA+OB+OC=0,则O是△ABC的________.
→→→→→解析:OA+OB是以OA、OB为邻边作平行四边形的对角线,且过AB的中点,设中点为D,则OA+→
OB=2OD,所以2OD+OC=0,同理设E、F为AC,BC中点,则满足条件的点O为△ABC三边中线的
交点,故为重心.
答案:重心
→→→→→→
2.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=________. →→→
解析:由MA+MB+MC=0知,点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点,则 →
→→→
AM=AD=×(AB+AC)=(AB+AC),
→→→所以有AB+AC=3AM, 故m=3.
2→2331→
2
→
1→→3
答案:3
→→→
3.证明:若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线,则存在实数λ、μ,且λ+μ=1,使得:→
OC=λOA+μOB;反之,也成立.
→→→→→
证明:①如图所示,若OA、OB、OC的终点A、B、C共线,则AB∥BC,故存在→→→→→→→→→→→→
实数m,使得BC=mAB,又BC=OC-OB,AB=OB-OA,所以OC-OB=m(OB-OA),
→→→即OC=-mOA+(1+m)OB. 令λ=-m,μ=1+m,
→→→
则存在实数λ、μ且λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB.
→→→→→→②若OC=λOA+μOB,其中λ,μ∈R且λ+μ=1,则μ=1-λ.故OC=λOA+(1-λ)OB, →→→→→→即OC-OB=λ(OA-OB),即BC=λBA. 所以A、B、C三点共线,
→→→
即向量OA、OB、OC的终点在一条直线上.
4.(选做题)在△ABC中,点D是边BC的中点,A,D,E三点共线,求证:存在一个实数λ,→→→
使得AE=λ(AB+AC).
→1→→
证明:由向量加法的平行四边形法则可知AD=(AB+AC).
2因为A,D,E三点共线, →→
所以可设AE=μAD, →μ→→则AE=(AB+AC).
2
→→
μ→→→
令λ=,可得AE=λ(AB+AC).
2
→→→
所以,存在一个实数λ,使得AE=λ(AB+AC).