圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第7章 假设检验
一、假设检验的基本思想与概念
1．设x1，…，xn是来自N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
若检验由拒绝域为确定．
（1）当n＝20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
，n最小应取多少？
解：（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在H0成立下，，而犯第二类错误的概率为
这是因为在H1成立下．
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即，或，查表得：，由此给出
n≥33.93，因而凡最小应取34，才能使检验犯第二类错误的概率β≤0.01．
（3）在样本量为n时，检验犯第一类错误的概率为
当n→∞时．
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当n→∞时，，即β→0．
注：从这个例子可以看出，要使得α与β都趋于0，必须n→＋∞才可实现，这一结论在一般场合仍成立，即要使得α与β同时很小，必须样本量n很大．由于样本量n很大在实际中常常是不可行的，故一般情况下人们不应要求α与β同时很小．
2．设x1，…，x10是来自0-1总体b（1，p）的样本，考虑如下检验问题
取拒绝域为
解：
，则
，求该检验犯两类错误的概率．，于是犯两类错误的概率分别为
3．设x1，…，x16是来自正态总体N（μ，4）的样本，考虑检验问题
拒绝域取为
μ＝6.5处犯第二类错误的概率．
解：在H0为真的条件下，
，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在
，因而由
得
也就是，所以当c＝0.98时，检验的显著性水平为0.05．该
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台检验在μ＝6.5处犯第二类错误的概率为
4．设总体为均匀分布U（0，θ），x1，…，xn是样本，考虑检验问题
拒绝域取为，求检验犯第一类错误的最大值α．若要使得该最大值
α不超过0.05，n至少应取多大？
解：均匀分布U（0，θ）的最大次序统计量x（n）的密度函数为
因而检验犯第一类错误的概率为
它是θ的严格单调递减函数，故其最大值在θ＝3处达到，即
若要使得为17．
，则要求，这给出n≥16.43，即n至少
5．在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？
解：若检验结果是接受原假设，可能有两种情况：其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原
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圣才电子书 www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误．
若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况：若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误．
6．设x1，…，x20是来自0-1总体b（1，p）的样本，考虑如下检验问题
取拒绝域为
（1）求p＝0，0.1，0.2，…，0.9，1时的势并由此画出势函数的图；（2）求在p＝0.05时，犯第二类错误的概率．解：（1）势函数的计算公式为：
则p＝0，0.1，0.2，…，0.9，1时的势计算如下表：
表7-1
可用软件计算，如matlab语句为1－binocdf（6，20，p）＋binocdf（1，20，p）．势函数图如图7-1，它在P＝0.2处达到最小．
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（2）p＝0.05时，犯第二类错误的概率为可采用如下matlab语句
binocdf（6，20，0.05）－binocdf（1，20，0.05）计算给出1－g（0.05），计算结果为0.2641．
7．设一个单一观测的样本x取自密度函数为平p（x）的总体，对p（x）考虑统计假设：
若其拒绝域的形式为足α＋2β＝min，并求其最小值．
解：由
，试确定一个c，使得犯第一，二类错误的概率满
，可得
因此，当时．，并且此时的最小值为．
8．设x1，x2，…，x30为取自泊松分布p（λ）的随机样本．（1）试给出单边假设检验问题验．
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的水平α＝0.05的检
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 假设检验)【圣才出品】
